Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.15 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương Hàm số bậc nhất và là một phần quan trọng trong việc củng cố kiến thức về hàm số và ứng dụng của chúng.
Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, cùng với các phương pháp giải khác nhau để giúp các em hiểu rõ bản chất của bài toán và tự tin giải các bài tập tương tự.
Trong Hình 5.28, các cuộn thép được đặt chồng lên nhau. Đường kính của mỗi cuộn thép là 1,2m. Gọi A, B, C lần lượt là tâm của mặt cắt các cuộn thép, H là tiếp điểm của hai cuộn thép phía dưới. a) Chứng minh \(\Delta ABC\) là tam giác đều và tính độ dài AH. b) Tính khoảng cách từ B và C đến mặt đất. c) Tính chiều cao h của khối ba cuộn thép.
Đề bài
Trong Hình 5.28, các cuộn thép được đặt chồng lên nhau. Đường kính của mỗi cuộn thép là 1,2m. Gọi A, B, C lần lượt là tâm của mặt cắt các cuộn thép, H là tiếp điểm của hai cuộn thép phía dưới.
a) Chứng minh \(\Delta ABC\) là tam giác đều và tính độ dài AH.
b) Tính khoảng cách từ B và C đến mặt đất.
c) Tính chiều cao h của khối ba cuộn thép.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Gọi I là tiếp điểm của mặt cắt của các cuộn thép tâm A và tâm C, K là tiếp điểm của mặt cắt của các cuộn thép tâm A và tâm B.
+ Tính bán kính của các đường tròn (A), (B), (C).
+ Từ đó tính được \(AB = BC = AC\) nên tam giác ABC đều.
+ Chứng minh AH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác ABC đều.
+ Áp dụng định lí Pythagore để tính AH.
b) Đường tròn tâm (B), (C) tiếp xúc với mặt đất nên khoảng cách từ B, C đến mặt đất bằng bán kính của đường tròn tâm (B), (C).
c) + Chiều cao của ba cuộn thép bằng tổng đường kính của hai đường tròn tâm A và tâm C.
Lời giải chi tiết
Gọi I là tiếp điểm của mặt cắt của các cuộn thép tâm A và tâm C, K là tiếp điểm của mặt cắt của các cuộn thép tâm A và tâm B.
a) Vì AI, AK là bán kính đường tròn (A) nên
\(AI = AK = \frac{{1,2}}{2} = 0,6m\).
Vì BH, BK là bán kính đường tròn (B) nên
\(BH = BK = \frac{{1,2}}{2} = 0,6m\).
Vì CI, CH là bán kính đường tròn (C) nên
\(CI = CH = \frac{{1,2}}{2} = 0,6m\).
Vì các cuộn thép tâm A, B, C đặt chồng lên nhau nên các mặt cắt của các cuộn thép tâm A, B, C tiếp xúc ngoài nhau.
Do đó, \(AC = AI + IC = 1,2m,BC = BH + HC = 1,2m,AB = BK + AK = 1,2m\)
Suy ra: \(AB = BC = AC\).
Vậy \(\Delta ABC\) là tam giác đều
Mà AH là đường trung tuyến của tam giác ABC (vì \(BH = HC\)) nên AH là đường cao của tam giác ABC. Suy ra, tam giác AHC vuông tại H.
Do đó, \(A{H^2} + H{C^2} = A{C^2}\) (định lí Pythagore), suy ra
\(AH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {1,{2^2} - 0,{6^2}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{5}\left( m \right)\)
b) Vì đường tròn tâm (B), (C) tiếp xúc với mặt đất nên khoảng cách từ B, C đến mặt đất bằng bán kính của đường tròn tâm (B), (C).
Do đó, khoảng cách từ B và C đến mặt đất đều bằng 0,6m.
c) Vì các cuộn thép tâm A, B, C tiếp xúc ngoài nhau nên chiều cao h của khối ba cuộn thép là: \(h = 1,2 + 1,2 = 2,4\left( m \right)\)
Bài tập 5.15 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 yêu cầu chúng ta tìm hiểu về phương pháp tiếp tuyến của một hàm số tại một điểm. Đây là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong việc nghiên cứu về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
Bài tập thường đưa ra một hàm số y = f(x) và một điểm x0. Yêu cầu là tìm phương trình đường thẳng tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm x0.
Bài toán: Tìm phương trình đường thẳng tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x2 tại điểm x = 2.
Giải:
Ngoài bài tập 5.15, các em có thể gặp các bài tập tương tự với các hàm số khác nhau, ví dụ:
Phương pháp tiếp tuyến có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Để củng cố kiến thức về phương pháp tiếp tuyến, các em có thể tự giải các bài tập sau:
Bài tập 5.15 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ về phương pháp tiếp tuyến và ứng dụng của nó. Hy vọng với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trên, các em sẽ tự tin giải các bài tập tương tự và nắm vững kiến thức về hàm số.
