Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Căn thức bậc hai Toán 9 tại giaibaitoan.com. Đây là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 9, đặt nền móng cho các kiến thức nâng cao hơn ở cấp học THPT.
Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cách hệ thống và dễ hiểu nhất về các khái niệm, tính chất và ứng dụng của căn thức bậc hai, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Căn thức bậc hai Khái niệm căn thức bậc hai Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt A \) là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.
1. Căn thức bậc hai
Khái niệm căn thức bậc hai
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt A \) là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn. |
Ví dụ: \(\sqrt {2x - 1} \), \(\sqrt { - \frac{1}{3}x + 2} \) là các căn thức bậc hai.
Lưu ý:
\(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.
Ví dụ: Căn thức \(\sqrt {2x + 1} \) xác định khi \(2x + 1 \ge 0\) hay \(x \ge - \frac{1}{2}\).
2. Căn thức bậc hai của một bình phương
Với mọi biểu thức đại số, ta có: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\). |
Ví dụ: Với \(x < 0\), ta có 1 – x > 0. Do đó \({\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^2} = 1 - x\).
3. Căn thức bậc hai của một tích
Với hai biểu thức A và B không âm, ta có \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \). |
Lưu ý:
- Tính chất trên có thể mở rộng cho tích của nhiều biểu thức không âm.
Với các biểu thức không âm A, B, C, ta có: \(\sqrt {A.B.C} = \sqrt A .\sqrt B .\sqrt C \)
- Với biểu thức A không âm, ta có: \(\sqrt {{A^2}} = {\left( {\sqrt A } \right)^2} = A\).
Ví dụ: Với \(a \ge 0,b < 0\) thì \(\sqrt {25{a^2}{b^2}} = \sqrt {{5^2}.{a^2}.{{\left( { - b} \right)}^2}} = \sqrt {{5^2}} .\sqrt {{a^2}} .\sqrt {{{\left( { - b} \right)}^2}} = 5.a.\left( { - b} \right) = - 5ab\).
4. Căn thức bậc hai của một thương
Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có \(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\). |
Ví dụ: \(\sqrt {\frac{{49}}{{64}}} = \frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {64} }} = \frac{7}{8}\);
\(\sqrt {\frac{{4{a^2}}}{{25}}} = \frac{{\sqrt {4{a^2}} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{\sqrt 4 .\sqrt {{a^2}} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{2\left| a \right|}}{5}\);
\(\frac{{\sqrt 8 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{8}{2}} = \sqrt 4 = 2\);
Với \(a > 0\) thì \(\frac{{\sqrt {52{a^3}} }}{{\sqrt {13a} }} = \sqrt {\frac{{52{a^3}}}{{13a}}} = \sqrt {4{a^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2}} = 2a\).
5. Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có: \(\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}\). - Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0,A \ne {B^2}\), ta có: \(\frac{C}{{\sqrt A + B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\frac{C}{{\sqrt A - B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}\). - Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\), ta có: \(\frac{C}{{\sqrt A + \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A - \sqrt B } \right)}}{{A - B}};\frac{C}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\). |
Ví dụ:
\(\frac{2}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3.5}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{15}}\);
\(\frac{a}{{3 - 2\sqrt 2 }} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right).\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{{3^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{9 - 8}} = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)a\).
Căn thức bậc hai là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là ở chương trình Toán 9. Hiểu rõ lý thuyết về căn thức bậc hai là nền tảng để giải quyết các bài toán liên quan đến biểu thức chứa căn, phương trình và bất phương trình chứa căn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, điều kiện xác định, các tính chất và ứng dụng của căn thức bậc hai.
Với a là một số thực không âm (a ≥ 0), căn thức bậc hai của a là số x sao cho x2 = a.
Ký hiệu: √a
Trong đó:
Căn thức bậc hai √a chỉ có nghĩa khi và chỉ khi a ≥ 0.
Điều này có nghĩa là biểu thức dưới dấu căn phải là một số không âm.
Để đưa thừa số ra ngoài dấu căn, ta tìm một số chính phương là ước của số dưới dấu căn. Ví dụ:
√12 = √(4.3) = √4 . √3 = 2√3
Để đưa thừa số vào trong dấu căn, ta bình phương thừa số đó và nhân với số dưới dấu căn. Ví dụ:
2√3 = √(22.3) = √12
Căn thức bậc hai được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và thực tế, bao gồm:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: √(27) + √(12) - √(75)
Giải:
Vậy, √(27) + √(12) - √(75) = 3√3 + 2√3 - 5√3 = 0
Để nắm vững lý thuyết về căn thức bậc hai, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. giaibaitoan.com cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng với nhiều mức độ khó khác nhau, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và đầy đủ về Lý thuyết Căn thức bậc hai Toán 9. Hãy dành thời gian ôn tập và thực hành để nắm vững kiến thức này, phục vụ cho quá trình học tập và giải quyết các bài toán liên quan.
