Bài 3. Định lí Viète và ứng dụng

Bài 3 trong chương trình Toán 9 tập 2, thuộc Chương 6 về Hàm số y = ax² (a ≠ 0) và phương trình bậc hai một ẩn, tập trung vào Định lí Viète và các ứng dụng quan trọng của nó. Đây là một phần kiến thức nền tảng, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai.

1. Nội dung chính của Định lí Viète

Định lí Viète là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta tìm mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình bậc hai và các nghiệm của phương trình đó. Cụ thể, với phương trình bậc hai tổng quát ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), Định lí Viète khẳng định:

Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -b/a
Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = c/a

Việc nắm vững hai công thức này là điều kiện tiên quyết để áp dụng Định lí Viète một cách hiệu quả.

2. Ứng dụng của Định lí Viète

Định lí Viète có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán, bao gồm:

Kiểm tra nghiệm của phương trình: Nếu biết hai số x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0, ta có thể sử dụng Định lí Viète để kiểm tra lại tính đúng đắn của các nghiệm này.
Tìm nghiệm của phương trình: Trong một số trường hợp, ta có thể sử dụng Định lí Viète để tìm ra các nghiệm của phương trình bậc hai một cách nhanh chóng, đặc biệt khi phương trình có dạng đặc biệt.
Xây dựng phương trình bậc hai: Ngược lại, nếu biết tổng và tích của hai nghiệm, ta có thể xây dựng một phương trình bậc hai có hai nghiệm đó.
Giải các bài toán liên quan đến nghiệm phương trình: Định lí Viète thường được sử dụng để giải các bài toán tìm tổng, tích, hiệu, thương của các nghiệm phương trình, hoặc các bài toán liên quan đến biểu thức đối xứng của các nghiệm.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho phương trình x² - 5x + 6 = 0. Hãy tìm tổng và tích của các nghiệm.

Giải:

Áp dụng Định lí Viète, ta có:

Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -(-5)/1 = 5
Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = 6/1 = 6

Ví dụ 2: Tìm hai số có tổng bằng 8 và tích bằng 15.

Giải:

Gọi hai số cần tìm là x₁ và x₂. Theo đề bài, ta có:

x₁ + x₂ = 8
x₁ * x₂ = 15

Vậy, x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình x² - 8x + 15 = 0. Giải phương trình này, ta được x₁ = 3 và x₂ = 5.

4. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về Định lí Viète và các ứng dụng của nó, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho phương trình 2x² + 3x - 5 = 0. Hãy tìm tổng và tích của các nghiệm.
Bài 2: Tìm hai số có tổng bằng -4 và tích bằng -5.
Bài 3: Cho phương trình x² - (m+1)x + m = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn x₁ + x₂ = 3.

5. Lưu ý quan trọng

Khi áp dụng Định lí Viète, cần lưu ý:

Đảm bảo rằng phương trình bậc hai đã được đưa về dạng tổng quát ax² + bx + c = 0.
Kiểm tra điều kiện a ≠ 0.
Chú ý đến dấu của các hệ số a, b, c để tính toán chính xác tổng và tích của các nghiệm.

Hy vọng rằng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Định lí Viète và các ứng dụng của nó. Chúc các em học tập tốt!