Định lí Viète là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình Toán 9, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. Nắm vững lý thuyết này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu sắc về mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình mà còn mở ra cánh cửa giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp một lộ trình học tập toàn diện, từ lý thuyết cơ bản đến các ứng dụng nâng cao, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài tập về Định lí Viète.
1. Định lí Viète Định lí Viète Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\)
1. Định lí Viète
Định lí Viète
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\) |
Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).
Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó
Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). - Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = 1\) và \({x_2} = \frac{c}{a}\). - Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = - \frac{c}{a}\). |
Ví dụ: Phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0\) có \(a + b + c = 1 + \left( { - 6} \right) + 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = 5\).
Phương trình \(5{x^2} + 14x + 9 = 0\) có \(a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{9}{5}\).
2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\). Điều kiện để có hai số đó là \({S^2} - 4P \ge 0\). |
Ví dụ: Hai số có tổng bằng 9, tích bằng 20 là nghiệm của phương trình \({x^2} + 9x + 20 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.1.20 = 1,\sqrt \Delta = 1\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{9 - 1}}{2} = 4;{x_2} = \frac{{9 + 1}}{2} = 5\).
Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.
Định lí Viète, được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp François Viète, thiết lập mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức và các hệ số của nó. Trong chương trình Toán 9, định lí này thường được áp dụng cho phương trình bậc hai.
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0). Nếu phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thì:
Định lí Viète có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán, đặc biệt là trong các bài toán sau:
Ví dụ: Cho phương trình 2x2 - 5x + 3 = 0. Tính tổng và tích của các nghiệm.
Giải: Ta có a = 2, b = -5, c = 3. Theo Định lí Viète:
Ví dụ: Cho phương trình x2 - 5x + 6 = 0. Biết tổng hai nghiệm là 5 và tích hai nghiệm là 6. Tìm các nghiệm của phương trình.
Giải: Ta có x1 + x2 = 5 và x1.x2 = 6. Ta có thể giải hệ phương trình sau:
x1 + x2 = 5
x1.x2 = 6
Giải hệ phương trình này, ta được x1 = 2 và x2 = 3 (hoặc ngược lại).
Ví dụ: Tìm giá trị của m để phương trình x2 - 2mx + m + 1 = 0 có nghiệm.
Giải: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0. Ta có:
Δ = (-2m)2 - 4(1)(m + 1) = 4m2 - 4m - 4
Để Δ ≥ 0, ta cần giải bất phương trình 4m2 - 4m - 4 ≥ 0, tương đương với m2 - m - 1 ≥ 0. Giải bất phương trình này, ta tìm được các giá trị của m thỏa mãn.
Ngoài các ứng dụng cơ bản, Định lí Viète còn được sử dụng trong các bài toán nâng cao hơn, ví dụ như:
Để nắm vững kiến thức về Định lí Viète và ứng dụng, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Giaibaitoan.com cung cấp một kho bài tập phong phú, được phân loại theo mức độ khó, giúp bạn củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán liên quan đến Định lí Viète trong chương trình Toán 9.
