Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Góc ở tâm, cung và hình quạt tròn trong chương trình Toán 9 tại giaibaitoan.com. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về các khái niệm này.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, tính chất và các ứng dụng thực tế của góc ở tâm, cung và hình quạt tròn, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Góc ở tâm và số đo cung Góc ở tâm Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm của đường tròn. Số đo cung
1. Góc ở tâm và số đo cung
Góc ở tâm
Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm của đường tròn. |
Số đo cung
Trong đường tròn: - Số đo của cung nhỏ là số đo của góc ở tâm chắn cung đó; - Số đo của cung lớn là hiệu giữa \({360^0}\) và số đo của cung nhỏ cùng đầu mút với nó. - Số đo của nửa đường tròn là \({180^0}\). |
Lưu ý: Trong một đường tròn:
- Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ$\overset\frown{AB}$.
- Các cung có số đo bằng \({n^0}\) được gọi chung là cung \({n^0}\). Mỗi điểm trên đường tròn được xem là một cung \({0^0}\), cả đường tròn được xem là cung \({360^0}\).
- Tổng số đo hai cung có chung đầu mút là \({360^0}\).
- Nếu điểm M thuộc cung AB và chia cung AB thành hai cung AM, MB thì ta có sđ$\overset\frown{AB}$ = sđ$\overset\frown{AM}$ + sđ$\overset\frown{MB}$.
2. Độ dài cung
Công thức độ dài cung \({n^0}\) của đường tròn bán kính R: \(l = \frac{{\pi Rn}}{{180}}\). |
Ví dụ:
Đường tròn (O; 2cm), \(\widehat {AOB} = {60^0}\).
- Cung nhỏ AB bị chắn bởi góc ở tâm AOB.
Do đó sđ$\overset\frown{AB}=\widehat{AOB}={{60}^{0}}$.
Độ dài \({l_1}\) của cung AB là:
\({l_1} = \frac{n}{{180}}\pi R = \frac{{60}}{{180}}\pi .2 = \frac{{2\pi }}{3} \approx 2,1\left( {cm} \right)\)
Cung lớn AnB có số đo là:
sđ$\overset\frown{AmN}={{360}^{o}}-{{60}^{0}}={{300}^{0}}$.
Độ dài \({l_2}\) của cung AnB là:
\({l_2} = \frac{{300}}{{180}}\pi .2 = \frac{{10}}{3}\pi \approx 10,5\left( {cm} \right)\)
3. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
Khái niệm hình quạt tròn
Hình quạt tròn là phần hình tròn bị giới hạn bởi một cung và hai bán kính đi qua các đầu mút của cung đó. |
Diện tích hình quạt tròn
Nếu \({S_q}\) là phần diện tích của hình quạt tròn bán kính R ứng với cung có số đo \({n^0}\) thì:
\(\frac{{{S_q}}}{{\pi {R^2}}} = \frac{n}{{360}}\).
Công thức diện tích hình quạt tròn bán kính R ứng với cung \({n^o}\): \({S_q} = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\) |
Ví dụ: Diện tích hình quạt tròn có độ dài tương ứng với nó là \(l = 4\pi \)cm, bán kính là R = 5cm là:
\({S_q} = \frac{{l.R}}{2} = \frac{{4\pi .5}}{2} = 10\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Khái niệm hình vành khuyên
Hình vành khuyên là hình giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính khác nhau. |
Diện tích hình vành khuyên
Công thức diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (O;R) và (O;r) (với r < R): \({S_v} = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right)\). |
Ví dụ: Diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3m và 5m là:
\({S_v} = \pi \left( {{5^2} - {3^2}} \right) = 16\pi \left( {{m^2}} \right)\)
Lưu ý: Từ công thức tính diện tích hình quạt tròn và độ dài cung \({n^0}\), bán kính R, ta có công thức liên hệ hai diện tích hình quạt (\({S_q}\)) với độ dài cung (\(l\)) ứng với nó như sau:
\({S_q} = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi Rn}}{{180}}.\frac{R}{2} = \frac{1}{2}lR\).
Trong chương trình Toán 9, kiến thức về đường tròn đóng vai trò quan trọng, và góc ở tâm, cung, hình quạt tròn là những khái niệm nền tảng. Việc nắm vững lý thuyết này không chỉ giúp bạn hiểu sâu hơn về đường tròn mà còn là cơ sở để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các chương tiếp theo.
Định nghĩa: Góc ở tâm là góc có đỉnh là tâm đường tròn và hai cạnh chứa hai bán kính của đường tròn.
Số đo của cung: Số đo của cung là số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Ví dụ, nếu góc ở tâm AOB có số đo 60 độ, thì số đo của cung AB bằng 60 độ.
Cung lớn và cung nhỏ: Một cung có số đo nhỏ hơn 180 độ gọi là cung nhỏ, cung có số đo lớn hơn 180 độ gọi là cung lớn.
Định nghĩa: Cung là một phần của đường tròn giới hạn bởi hai điểm trên đường tròn.
Độ dài cung: Độ dài cung được tính bằng công thức: l = πrα/180, trong đó l là độ dài cung, r là bán kính đường tròn, α là số đo góc ở tâm chắn cung đó (tính bằng độ).
Liên hệ giữa số đo cung và độ dài cung: Số đo cung tỉ lệ thuận với độ dài cung khi bán kính không đổi.
Định nghĩa: Hình quạt tròn là hình được giới hạn bởi hai bán kính và một cung của đường tròn.
Diện tích hình quạt tròn: Diện tích hình quạt tròn được tính bằng công thức: S = πr2α/360, trong đó S là diện tích hình quạt tròn, r là bán kính đường tròn, α là số đo góc ở tâm chắn cung đó (tính bằng độ).
Góc ở tâm, cung và hình quạt tròn có mối liên hệ mật thiết với nhau. Góc ở tâm là yếu tố quyết định số đo của cung, và cung là một phần của hình quạt tròn. Việc hiểu rõ mối quan hệ này giúp chúng ta giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.
Bài tập 1: Cho đường tròn (O) bán kính 5cm. Tính độ dài cung AB có số đo 72 độ.
Giải: Độ dài cung AB là: l = π * 5 * 72 / 180 = 2π (cm).
Bài tập 2: Cho hình quạt tròn có bán kính 8cm và số đo góc ở tâm là 45 độ. Tính diện tích hình quạt tròn.
Giải: Diện tích hình quạt tròn là: S = π * 82 * 45 / 360 = 4π (cm2).
Lý thuyết về góc ở tâm, cung và hình quạt tròn có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Để nắm vững lý thuyết này, bạn cần:
Lý thuyết về góc ở tâm, cung và hình quạt tròn là một phần quan trọng của chương trình Toán 9. Hy vọng rằng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết để tự tin học tập và giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn học tốt!
