Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trong chương trình Toán 9 tại giaibaitoan.com. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về hai loại đường tròn đặc biệt này, cùng với các ứng dụng thực tế trong giải toán.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, tính chất, cách xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp, cũng như các công thức liên quan.
1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác – Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn. – Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác là khoảng cách từ giao điểm này đến một đỉnh bất kì của tam giác.
1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác
– Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn. – Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác là khoảng cách từ giao điểm này đến một đỉnh bất kì của tam giác.
|
Ví dụ:
- Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).
- Tâm O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.
|
Ví dụ:
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; BO).
Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}a\).
|
Ví dụ:
Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC, bán kính \(OA = OB = OC = \frac{{\sqrt 3 }}{3}AB\).
2. Đường tròn nội tiếp một tam giác
Định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác ngoại tiếpđường tròn. - Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm là giao điểm của ba đường phân giác trong và bán kính bằng khoảng cách từ giao điểm đó đến một cạnh bất kì của tam giác.
|
Ví dụ:
- Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC. Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I).
- Tâm I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác.
Đường tròn nội tiếp tam giác đều
Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}a\).
|
Ví dụ:
Đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC, bán kính \(OD = OE = \frac{{\sqrt 3 }}{6}AB\).
Trong hình học, đường tròn đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của tam giác. Hai loại đường tròn đặc biệt liên quan đến tam giác là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp. Việc hiểu rõ lý thuyết về hai đường tròn này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán hình học phức tạp trong chương trình Toán 9.
Định nghĩa: Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.
Tâm đường tròn ngoại tiếp: Giao điểm của các đường trung trực của tam giác. Tâm này còn được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp: Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến một trong ba đỉnh của tam giác. Ký hiệu là R.
Công thức tính bán kính R:
a / (2sinA) = b / (2sinB) = c / (2sinC) (với a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, A, B, C là các góc đối diện).abc / (4S) (với S là diện tích của tam giác).Tính chất:
Định nghĩa: Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.
Tâm đường tròn nội tiếp: Giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác. Tâm này còn được gọi là tâm đường tròn nội tiếp.
Bán kính đường tròn nội tiếp: Khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến một trong ba cạnh của tam giác. Ký hiệu là r.
Công thức tính bán kính r:
2S / (a + b + c) (với S là diện tích của tam giác, a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác).S / p (với p là nửa chu vi của tam giác, p = (a + b + c) / 2).Tính chất:
Công thức Euler: d2 = R(R - 2r) (với d là khoảng cách giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp).
Mối quan hệ này cho thấy sự liên kết giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp (R) và bán kính đường tròn nội tiếp (r) của một tam giác.
Lý thuyết về đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học, đặc biệt là trong việc chứng minh các tính chất của tam giác, tính góc, tính độ dài cạnh và diện tích. Việc nắm vững lý thuyết này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.
Hướng dẫn:
Bài tập 2:...
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác Toán 9. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải toán một cách hiệu quả.
