Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Các tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9 tại giaibaitoan.com. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng và các công thức quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tỉ số lượng giác.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, các tỉ số lượng giác cơ bản (sin, cos, tan, cot) và cách áp dụng chúng vào việc giải toán.
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn \({\rm{sin\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}};{\rm{cos\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}};\) \({\rm{tan\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,kề}};{\rm{cot\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}}.\) \(\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha \) gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \).
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
\({\rm{sin\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}};{\rm{cos\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}};\) \({\rm{tan\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,kề}};{\rm{cot\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}}.\) \(\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha \) gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \). |
Tip học thuộc nhanh:
Sin đi học Cos không hư Tan đoàn kết Cotang kết đoàn |
Lưu ý:
1. Trong một tam giác vuông, độ dài các cạnh luôn là số dương và cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền. Do đó sin và côsin của một góc nhọn luôn dương và nhỏ hơn 1.
\(\alpha < {90^0}:0 < \sin \alpha < 1;0 < \cos \alpha < 1\).
2. Khi ghi các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta viết \(\sin A\) thay vì \(\sin \widehat A\).
3. \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\).
Ví dụ:
Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác, ta có:
\(\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}\), \(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\), \(\tan \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}\), \(\cot \alpha = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\)
2. Tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt
Bảng giá trị lượng giác của các góc \({30^0},{45^0},{60^0}\)
\(\alpha \) | \({30^0}\) | \({45^0}\) | \({60^0}\) |
\(\sin \alpha \) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) | \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) |
\(\cos \alpha \) | \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) | \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
\(\tan \alpha \) | \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt 3 \) |
\(\cot \alpha \) | \(\sqrt 3 \) | \(1\) | \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) |
3. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tan góc này bằng côtang góc kia. \(\begin{array}{l}\sin \alpha = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\cos \alpha = \sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\\\tan \alpha = \cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\cot \alpha = \tan \left( {{{90}^0} - \alpha .} \right)\end{array}\) |
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc phụ nhau, ta có:
\(\sin \alpha = \cos \beta \), \(\cos \alpha = \sin \beta \), \(\tan \alpha = \cot \beta \), \(\cot \alpha = \tan \beta \).
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}\sin {60^0} = \cos \left( {{{90}^0} - {{60}^0}} \right) = \cos {30^0};\\\cos {52^0}30' = \sin \left( {{{90}^0} - {{52}^0}30'} \right) = \sin {37^0}30';\\\tan {80^0} = \cot \left( {{{90}^0} - {{80}^0}} \right) = \cot {10^0};\\\cot {82^0} = \tan \left( {{{90}^0} - {{82}^0}} \right) = \tan {8^0}.\end{array}\)
4. Tính các tỉ số lượng giác của một góc khi biết số đo góc và tính số đo góc khi biết tỉ số lượng giác bằng máy tính cầm tay.
a) Tính tỉ số lượng giác khi biết số đo góc
Ngoài đơn vị độ, người ta còn dùng đơn vị phút (‘) và giây (“) để đo góc chính xác hơn với \({1^0} = 60';1' = 60''\).
Để tính các tỉ số lượng giác sin, côsin và tang của một góc, ta sử dụng các phím
Để tính giá trị côtang của một góc \(\alpha \), ta tính tang của \({90^0} - \alpha \) hoặc tính giá trị \(\frac{1}{{\tan \alpha }}\).
b) Tìm số đo góc khi biết tỉ số lượng giác
Khi biết tỉ số lượng giác của một góc nhọn, ta cũng có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính số đo của góc nhọn đó. Để tìm góc nhọn \(\alpha \), ta bấm:
Một số công thức mở rộng:
+) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
+) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
+) \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
+) \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\)
+) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1\)
+) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = {\cot ^2}\alpha + 1\)
Trong chương trình Toán 9, phần Lý thuyết Các tỉ số lượng giác của góc nhọn đóng vai trò then chốt, là nền tảng để giải quyết nhiều dạng bài tập hình học và ứng dụng thực tế. Hiểu rõ các khái niệm và công thức liên quan đến tỉ số lượng giác là điều kiện cần thiết để đạt kết quả tốt trong môn học.
Xét tam giác vuông ABC vuông tại A. Gọi AB = c, AC = b, BC = a. Khi đó:
Tương tự, ta có các tỉ số lượng giác của góc C:
Các tỉ số lượng giác có mối liên hệ mật thiết với nhau, được thể hiện qua các công thức sau:
Việc nắm vững bảng giá trị của các tỉ số lượng giác cho các góc đặc biệt (0o, 30o, 45o, 60o, 90o) sẽ giúp bạn giải quyết bài tập nhanh chóng và chính xác hơn.
| Góc (o) | Sin | Cos | Tan | Cot |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | ∞ |
| 30 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 |
| 45 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 |
| 90 | 1 | 0 | ∞ | 0 |
Các tỉ số lượng giác được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Lý thuyết Các tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9 là một phần quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán và ứng dụng vào thực tế. Hãy luyện tập thường xuyên để đạt kết quả tốt nhất!
