Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 của giaibaitoan.com! Bất đẳng thức là một phần quan trọng trong chương trình Toán học lớp 9, giúp học sinh rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
Ở đây, chúng tôi cung cấp đầy đủ và chi tiết các kiến thức cơ bản, các định lý quan trọng, cùng với các ví dụ minh họa dễ hiểu, giúp bạn nắm vững lý thuyết và tự tin áp dụng vào giải bài tập.
1. Bất đẳng thức Khi so sánh hai số thực a, b bất kì, luôn xảy ra một trong ba trường hợp sau:
1. Bất đẳng thức
Khi so sánh hai số thực a, b bất kì, luôn xảy ra một trong ba trường hợp sau:
- Số a bằng số b, kí hiệu \(a = b\);
- Số a lớn hơn số b, kí hiệu \(a > b\);
- Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu \(a < b\).
Nếu số a không lớn hơn số b thì phải có hoặc \(a < b\), hoặc \(a = b\). Khi đó ta nói gọn là a nhỏ hơn hoặc bằng b và kí hiệu \(a \le b\).
Nếu số a không nhỏ hơn số b thì ta phải có hoặc \(a > b\), hoặc \(a = b\). Khi đó, ta nói a lớn hơn hoặc bằng b và kí hiệu \(a \ge b\).
Định nghĩa bất đẳng thức
Hệ thức dạng \(a > b\) (hay \(a < b\), \(a \ge b\), \(a \le b\)) được gọi là bất đẳng thức. Khi đó a được gọi là vế trái và b được gọi là vế phải của bất đẳng thức. |
Lưu ý:
Bất đẳng thức a > b còn được viết là b < a.
Nếu đồng thời có hai bất đẳng thức a > b và a < c thì ta viết gộp lại thành b < a < c (đọc là a lớn hơn b, nhỏ hơn c)
Hai bất đẳng thức \(a > b\) và \(c > d\) (hay \(a \ge b\) và \(c \ge d\)) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.
Hai bất đẳng thức \(a > b\) và \(c < d\) (hay \(a \ge b\) và \(c \le d\)) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.
2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
Với ba số a, b, c, ta có:
Nếu \(a < b\) thì \(a + c < b + c\). Nếu \(a > b\) thì \(a + c > b + c\). Nếu \(a \le b\) thì \(a + c \le b + c\). Nếu \(a \ge b\) thì \(a + c \ge b + c\). Khi cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức ban đầu. |
Ví dụ:Vì \(2023 < 2024\) nên \(2023 + \left( { - 19} \right) < 2024 + \left( { - 19} \right)\)
Lưu ý:
Tính chất trên vẫn đúng khi ta trừ vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số. Chẳng hạn, nếu \(a < b\) thì \(a - c < b - c\).
Ta có thể sử dụng tính chất trên để so sánh hai số hoặc chứng minh một bất đẳng thức.
3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
a) Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương
Với ba số a, b, c bất kì, trong đó c > 0, ta có: - Nếu \(a < b\) thì \(ac < bc\). - Nếu \(a > b\) thì \(ac > bc\). - Nếu \(a \le b\) thì \(ac \le bc\). - Nếu \(a \ge b\) thì \(ac \ge bc\). Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. |
Lưu ý:
Tính chất trên vẫn đúng khi ta chia hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số dương.
Chẳng hạn, nếu \(a < b\) thì \(\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\) với c là số dương bất kì.
b) Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm
Với ba số a, b, c, trong đó c < 0, ta có: Nếu \(a < b\) thì \(ac > bc\). Nếu \(a > b\) thì \(ac < bc\). Nếu \(a \le b\) thì \(ac \ge bc\). Nếu \(a \ge b\) thì \(ac \le bc\). Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. |
Lưu ý:
Tính chất trên vẫn đúng khi ta chia hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số âm.
Chẳng hạn, nếu \(a < b\) thì \(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\) với c là số âm bất kì.
Ví dụ:
Vì \( - 7 < - 5\) và \(3 > 0\) nên \(3.\left( { - 7} \right) < 3.\left( { - 5} \right)\).
Vì \( - 7 < - 5\) và \( - 3 < 0\) nên \(\left( { - 3} \right).\left( { - 7} \right) > \left( { - 3} \right).\left( { - 5} \right)\).
4. Tính chất bắc cầu của thứ tự
Nếu \(a < b\) và \(b < c\) thì \(a < c\). Tính chất này gọi là tính chất bắc cầu của thứ tự. |
Tính chất bắc cầu cũng đúng với các thứ tự lớn hơn (>), lớn hơn hoặc bằng (\( \ge \)), nhỏ hơn hoặc bằng (\( \le \)).
Ví dụ: Vì \(\frac{{2024}}{{2023}} = 1 + \frac{1}{{2023}} > 1\) và \(\frac{{2021}}{{2022}} = 1 - \frac{1}{{2022}} < 1\) nên \(\frac{{2024}}{{2023}} > \frac{{2021}}{{2022}}\).
Lưu ý:
Các tính chất của thứ tự cũng chính là tính chất của bất đẳng thức.
Bất đẳng thức là một biểu thức toán học so sánh hai giá trị. Trong Toán 9, chúng ta sẽ học về các loại bất đẳng thức, các tính chất của bất đẳng thức, và các phương pháp giải bất đẳng thức.
Các tính chất của bất đẳng thức giúp chúng ta biến đổi bất đẳng thức một cách hợp lệ. Một số tính chất quan trọng bao gồm:
Có nhiều phương pháp giải bất đẳng thức, tùy thuộc vào loại bất đẳng thức. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:
Trong chương trình Toán 9, có một số định lý quan trọng về bất đẳng thức mà bạn cần nắm vững:
Ví dụ 1: Giải bất đẳng thức 2x + 3 > 5
Vậy nghiệm của bất đẳng thức là x > 1.
Ví dụ 2: Giải bất đẳng thức -3x + 1 < 7
Vậy nghiệm của bất đẳng thức là x > -2.
Để củng cố kiến thức về lý thuyết bất đẳng thức, bạn có thể làm các bài tập sau:
Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 là một phần quan trọng trong chương trình Toán học. Việc nắm vững lý thuyết và các phương pháp giải bất đẳng thức sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Chúc bạn học tập tốt!
