Bài 4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai

Bài 4 trong sách Cùng khám phá Toán 9 tập 2, chương 6, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phương trình bậc hai để giải quyết các bài toán thực tế. Đây là một bước quan trọng trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán và áp dụng toán học vào cuộc sống.

I. Tóm tắt lý thuyết cần nắm vững

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:

Phương trình bậc hai một ẩn: Là phương trình có dạng ax² + bx + c = 0, với a ≠ 0.
Cách giải phương trình bậc hai:
- Sử dụng công thức nghiệm tổng quát: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
- Sử dụng công thức nghiệm thu gọn: x = (-b ± √(Δ)) / 2a (khi b là số chẵn)
- Sử dụng định lý Vi-et: x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ = c/a
Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai:
- Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
- Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép
- Δ < 0: Phương trình vô nghiệm

II. Phân tích bài toán và lập phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Đọc kỹ đề bài: Xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán.
Chọn ẩn: Chọn một đại lượng thích hợp làm ẩn số (thường là đại lượng cần tìm).
Biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn: Sử dụng các mối quan hệ trong bài toán để biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn đã chọn.
Lập phương trình: Dựa vào các mối quan hệ và điều kiện của bài toán để lập phương trình bậc hai.

III. Giải phương trình và kiểm tra nghiệm

Sau khi lập được phương trình, chúng ta tiến hành giải phương trình bằng các phương pháp đã học. Sau khi tìm được nghiệm, cần kiểm tra lại nghiệm để đảm bảo nghiệm thỏa mãn điều kiện của bài toán và có ý nghĩa thực tế.

IV. Ví dụ minh họa (giả định một bài toán cụ thể từ SGK)

Bài toán: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 1m thì diện tích khu vườn giảm đi 8m². Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của khu vườn.

Giải:

Chọn ẩn: Gọi chiều rộng của khu vườn là x (m).
Biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn: Chiều dài của khu vườn là x + 5 (m).
Lập phương trình: Diện tích ban đầu của khu vườn là x(x + 5) (m²). Diện tích sau khi thay đổi là (x + 2)(x + 5 - 1) = (x + 2)(x + 4) (m²). Theo đề bài, diện tích giảm đi 8m², nên ta có phương trình: x(x + 5) - (x + 2)(x + 4) = 8
Giải phương trình:
x² + 5x - (x² + 6x + 8) = 8
x² + 5x - x² - 6x - 8 = 8
-x - 8 = 8
-x = 16
x = -16
Kiểm tra nghiệm: Nghiệm x = -16 không thỏa mãn điều kiện của bài toán (chiều rộng không thể âm). Do đó, cần xem lại quá trình lập phương trình. (Trong trường hợp này, có thể có lỗi trong việc lập phương trình hoặc đề bài có vấn đề).

V. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như giaibaitoan.com.

Chúc các em học tốt!