Giải bài tập 8.15 trang 56 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 8.15 trang 56 SGK Toán 9 tập 2: Phương pháp tiếp tuyến

Bài tập 8.15 trang 56 SGK Toán 9 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm hiểu về phương pháp tiếp tuyến của một đường thẳng với một đường tròn. Đây là một kiến thức quan trọng trong hình học, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn.

Tóm tắt lý thuyết cần nắm vững

• Đường tiếp tuyến của đường tròn: Là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn. Điểm chung đó được gọi là tiếp điểm.
• Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm đó.
• Điều kiện để đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn: Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến d bằng R.

Phân tích bài toán 8.15 trang 56 SGK Toán 9 tập 2

Để giải bài tập này, chúng ta cần xác định được các yếu tố quan trọng như tâm của đường tròn, bán kính, và phương trình của đường thẳng. Sau đó, áp dụng các công thức và tính chất đã học để tìm ra điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải chi tiết bài tập 8.15 trang 56 SGK Toán 9 tập 2

(Giả sử đề bài cụ thể của bài 8.15 là: Cho đường tròn (O) có bán kính R và đường thẳng d. Chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (O) khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến d bằng R.)

Chứng minh:

1. Chiều thuận (Nếu d là tiếp tuyến của (O) thì khoảng cách từ O đến d bằng R):

Giả sử d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có OA ⊥ d. Do đó, khoảng cách từ O đến d chính là độ dài đoạn OA, hay OA = R.

2. Chiều nghịch (Nếu khoảng cách từ O đến d bằng R thì d là tiếp tuyến của (O)):

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d. Khi đó, OH là khoảng cách từ O đến d. Giả sử OH = R. Vì OH ≤ OA (trong mọi tam giác vuông, cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông), nên H trùng với A. Do đó, d đi qua A và OA ⊥ d, suy ra d là tiếp tuyến của (O) tại A.

Ví dụ minh họa ứng dụng

Cho đường tròn (O) có phương trình (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9 và đường thẳng d có phương trình 3x + 4y - 5 = 0. Chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (O).

Giải:

Tâm của đường tròn (O) là I(1; 2) và bán kính R = 3.

Khoảng cách từ I đến d là: d(I, d) = |3(1) + 4(2) - 5| / √(3^2 + 4^2) = |3 + 8 - 5| / 5 = 6/5 = 1.2

Vì d(I, d) ≠ R, nên đường thẳng d không phải là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài tập tương tự để luyện tập

1. Bài 8.16 trang 56 SGK Toán 9 tập 2
2. Bài 8.17 trang 56 SGK Toán 9 tập 2
3. Tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4 tại điểm (0; -1).

Kết luận

Bài tập 8.15 trang 56 SGK Toán 9 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp tiếp tuyến của đường thẳng với đường tròn. Việc nắm vững lý thuyết và áp dụng các công thức một cách linh hoạt sẽ giúp các em giải quyết các bài tập tương tự một cách dễ dàng.