Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 9 tập 2 tại giaibaitoan.com. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 3, trang 9, 10 và 11 của sách giáo khoa Toán 9 tập 2.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong các kỳ thi. Hãy cùng bắt đầu khám phá!
Biến đổi phương trình tổng quát ax2 + bx + c = 0 (a\( \ne \)0) theo các bước tương tự ví dụ 3, ta có: \(\begin{array}{l}a{x^2} + bx + c = 0\\a{x^2} + bx = - c\\{x^2} + \frac{b}{a}x = \frac{{ - c}}{a}\\{x^2} + 2.x.\frac{b}{{2a}} + {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{ - c}}{a} + {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2}\\{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}.\end{array}\) Đặt \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và gọi là biệt thức của phương trình (\(\Delta \) là một
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 10 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Giải các phương trình sau:
a) \(3{x^2} - x + 2 = 0\)
b) \( - 3{t^2} + t + 6 = 0\)
c) \(3{x^2} - 6x + 3 = 0\)
Phương pháp giải:
Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
- Nếu \(\Delta \)> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\);
- Nếu \(\Delta \) = 0 thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}\);
- Nếu \(\Delta \) < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a) \(3{x^2} - x + 2 = 0\)
Phương trình có a = 3, b = -1, c = 2
\(\Delta = {( - 1)^2} - 4.3.2 = - 23 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
b) \( - 3{t^2} + t + 6 = 0\)
Phương trình có a = -3, b = 1, c = 6
\(\Delta = {1^2} - 4.( - 3).6 = 73 > 0\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{1 - \sqrt {73} }}{6},{x_2} = \frac{{1 + \sqrt {73} }}{6}\).
c) \(3{x^2} - 6x + 3 = 0\)
Phương trình có a = 3, b = -6, c = 3
\(\Delta = {( - 6)^2} - 4.3.3 = 0\)
Phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = 1\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 9 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Biến đổi phương trình tổng quát ax2 + bx + c = 0 (a\( \ne \)0) theo các bước tương tự ví dụ 3, ta có:
\(\begin{array}{l}a{x^2} + bx + c = 0\\a{x^2} + bx = - c\\{x^2} + \frac{b}{a}x = \frac{{ - c}}{a}\\{x^2} + 2.x.\frac{b}{{2a}} + {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{ - c}}{a} + {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2}\\{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}.\end{array}\)
Đặt \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và gọi là biệt thức của phương trình (\(\Delta \) là một chữ cái Hy Lạp, đọc là “đenta”). Ta được \({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{\Delta }{{4{a^2}}}\). (1)
Giải phương trình (1) theo các hệ số a, b, c trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\Delta \) > 0;
b) \(\Delta \) = 0
c) \(\Delta \) < 0.
Phương pháp giải:
Biến đổi phương trình trong từng trường hợp theo hệ số a,b,c.
Lời giải chi tiết:
a) Với \(\Delta \) > 0 ta có:
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{\Delta }{{4{a^2}}}\)
\(x + \frac{b}{{2a}} = \sqrt {\frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \)hoặc \(x + \frac{b}{{2a}} = - \sqrt {\frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \)
\(x = \sqrt {\frac{\Delta }{{4{a^2}}}} - \frac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt \Delta }}{{2a}} - - \frac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt \Delta - b}}{{2a}}\) hoặc \(x = - \sqrt {\frac{\Delta }{{4{a^2}}}} - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\sqrt \Delta }}{{2a}} - - \frac{b}{{2a}} = \frac{{ - \sqrt \Delta - b}}{{2a}}\)
Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x1 = \(\frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{2}\), x2 =\(\frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{2}\).
b) Với \(\Delta \) = 0 ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = 0\\x + \frac{b}{{2a}} = 0\\x = - \frac{b}{{2a}}\end{array}\)
Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x = \( - \frac{b}{{2a}}\).
c) Với \(\Delta \)< 0 ta có:
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}\) (Vô lí)
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 10 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Qua phân tích dữ liệu tại một cửa hàng tiện lợi, người ta thấy rằng nếu tăng giá bán của một loại nước ngọt thêm x (nghìn đồng) thì lợi nhuận P (nghìn đồng) thu về trong một tuần sau đó tính được theo công thức:
\(P = - 20{x^2} + 80x + 3300\)
Hỏi cửa hàng phải tăng giá của loại nước ngọt đó thêm bao nhiêu để lợi nhuận thu về trong tuần sau đó đạt mức 3380000 đồng?
Phương pháp giải:
Giải \( - 20{x^2} + 80x + 3300 = 3380\) để tìm x.
Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
- Nếu \(\Delta \)> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\);
- Nếu \(\Delta \) = 0 thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}\);
- Nếu \(\Delta \) < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Giải phương trình:
\( - 20{x^2} + 80x + 3300 = 3380\) (x > 0)
Ta có : \(\Delta = {80^2} - 4.( - 20).( - 80) = 0\)
Suy ra phương trình có nghiệm kép x = 800.
Vậy cửa hàng phải tăng giá của loại nước ngọt đó thêm 800 nghìn đồng.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 11 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Dùng công thức nghiệm thu gọn giải cá phương trình sau:
a) \(3{x^2} - 6x + 5 = 0\)
b) \({y^2} + 4y - 7 = 0\)
c) \({x^2} - 4\sqrt 2 x + 7 = 0\)
Phương pháp giải:
Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\), khi b = 2b’ và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {2b'} \right)^2} - 4ac = 4(b{'^2} - ac)\).
Đặt \(\Delta ' = b{'^2} - ac\), ta được \(\Delta = 4\Delta '\)
- Nếu \(\Delta \)’> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a},{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\);
- Nếu \(\Delta \)’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{{b'}}{a}\);
- Nếu \(\Delta \)’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a) \(3{x^2} - 6x + 5 = 0\)
Phương trình có a = 3, b’ = - 3, c = 5.
\(\Delta ' = {( - 3)^2} - 3.5 = - 6 < 0\)
Phương trình vô nghiệm.
b) \({y^2} + 4y - 7 = 0\)
Phương trình có a = 1, b’ = 2, c = -7.
\(\Delta ' = {2^2} - 1.( - 7) = 11 > 0\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({y_1} = - 2 + \sqrt {11} ,{y_2} = - 2 - \sqrt {11} \).
c) \({x^2} - 4\sqrt 2 x + 7 = 0\)
Phương trình có a = 1, b’ = \( - 2\sqrt 2 \), c = 7.
\(\Delta ' = {\left( { - 2\sqrt 2 } \right)^2} - 1.7 = 1 > 0\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = 2\sqrt 2 + 1,{x_2} = 2\sqrt 2 - 1\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 12SGK Toán 9 Cùng khám phá
Giải các phương trình sau:
a) \(2{x^2} + 3x - 7 = x(x + 3)\)
b) \(\frac{{x(x - 1)}}{3} + 2 = \frac{{x + 5}}{4}\).
Phương pháp giải:
Biến đổi đưa về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) rồi giải phương trình.
Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\), khi b = 2b’ và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {2b'} \right)^2} - 4ac = 4(b{'^2} - ac)\).
Đặt \(\Delta ' = b{'^2} - ac\), ta được \(\Delta = 4\Delta '\)
Nếu \(\Delta \)’> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a},{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\);
Nếu \(\Delta \)’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{{b'}}{a}\);
Nếu \(\Delta \)’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a) \(2{x^2} + 3x - 7 = x(x + 3)\)
\(\begin{array}{l}2{x^2} + 3x - 7 = {x^2} + 3x\\2{x^2} + 3x - 7 - {x^2} - 3x = 0\\{x^2} - 7 = 0\\{x^2} - 7 = 0\\{x^2} - 7 = 0\\{x^2} = 7\\x = \pm \sqrt 7 \end{array}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = \sqrt 7 ,{x_2} = - \sqrt 7 \)
b) \(\frac{{x(x - 1)}}{3} + 2 = \frac{{x + 5}}{4}\).
\(\begin{array}{l}4x(x - 1) + 2.3.4 = 3(x + 5)\\4{x^2} - 4x + 24 - 3x - 15 = 0\\4{x^2} - 7x + 9 = 0\end{array}\)
\(\Delta ' = {( - 7)^2} - 4.4.9 = - 95 < 0\)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 11SGK Toán 9 Cùng khám phá
Một đàn gấu mèo được thả vào một khu rừng. Sau t tháng, số lượng gấu mèo trong đàn được ước lượng bởi công thức \(P(t) = 4{t^2} + 30t + 100\)(nguồn: Chris Kirkpatrick Barbara Alldred, Crystal Chilvers, Beverly Farahani, Kristina Farentino, Angelo Lillo, lan Macpherson,John Rodger, Susanne Trew, Advanced Function, Nelson 2012, p.86). Theo công thức này, khi nào số các thể của đàn lên đến 200 con?
Phương pháp giải:
Giải phương trình \(4{t^2} + 30t + 100 = 200\) tìm t
Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\), khi b = 2b’ và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {2b'} \right)^2} - 4ac = 4(b{'^2} - ac)\).
Đặt \(\Delta ' = b{'^2} - ac\), ta được \(\Delta = 4\Delta '\)
- Nếu \(\Delta \)’> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a},{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\);
- Nếu \(\Delta \)’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{{b'}}{a}\);
- Nếu \(\Delta \)’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Thay P(t) = 200 vào \(P(t) = 4{t^2} + 30t + 100\) ta được
\(\begin{array}{l}4{t^2} + 30t + 100 = 200\\4{t^2} + 30t - 100 = 0\end{array}\)
Ta có \(\Delta ' = {15^2} - 4.( - 100) = 625 > 0,\sqrt {\Delta '} = 25\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({t_1} = \frac{5}{2} = 2,5(TM),{t_2} = - 10(L)\)
Vậy sau 2,5 tháng thì số các thể của đàn lên đến 200 con.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 9 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Biến đổi phương trình tổng quát ax2 + bx + c = 0 (a\( \ne \)0) theo các bước tương tự ví dụ 3, ta có:
\(\begin{array}{l}a{x^2} + bx + c = 0\\a{x^2} + bx = - c\\{x^2} + \frac{b}{a}x = \frac{{ - c}}{a}\\{x^2} + 2.x.\frac{b}{{2a}} + {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{ - c}}{a} + {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2}\\{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}.\end{array}\)
Đặt \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và gọi là biệt thức của phương trình (\(\Delta \) là một chữ cái Hy Lạp, đọc là “đenta”). Ta được \({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{\Delta }{{4{a^2}}}\). (1)
Giải phương trình (1) theo các hệ số a, b, c trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\Delta \) > 0;
b) \(\Delta \) = 0
c) \(\Delta \) < 0.
Phương pháp giải:
Biến đổi phương trình trong từng trường hợp theo hệ số a,b,c.
Lời giải chi tiết:
a) Với \(\Delta \) > 0 ta có:
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{\Delta }{{4{a^2}}}\)
\(x + \frac{b}{{2a}} = \sqrt {\frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \)hoặc \(x + \frac{b}{{2a}} = - \sqrt {\frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \)
\(x = \sqrt {\frac{\Delta }{{4{a^2}}}} - \frac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt \Delta }}{{2a}} - - \frac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt \Delta - b}}{{2a}}\) hoặc \(x = - \sqrt {\frac{\Delta }{{4{a^2}}}} - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\sqrt \Delta }}{{2a}} - - \frac{b}{{2a}} = \frac{{ - \sqrt \Delta - b}}{{2a}}\)
Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x1 = \(\frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{2}\), x2 =\(\frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{2}\).
b) Với \(\Delta \) = 0 ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = 0\\x + \frac{b}{{2a}} = 0\\x = - \frac{b}{{2a}}\end{array}\)
Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x = \( - \frac{b}{{2a}}\).
c) Với \(\Delta \)< 0 ta có:
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}\) (Vô lí)
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 10 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Giải các phương trình sau:
a) \(3{x^2} - x + 2 = 0\)
b) \( - 3{t^2} + t + 6 = 0\)
c) \(3{x^2} - 6x + 3 = 0\)
Phương pháp giải:
Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
- Nếu \(\Delta \)> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\);
- Nếu \(\Delta \) = 0 thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}\);
- Nếu \(\Delta \) < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a) \(3{x^2} - x + 2 = 0\)
Phương trình có a = 3, b = -1, c = 2
\(\Delta = {( - 1)^2} - 4.3.2 = - 23 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
b) \( - 3{t^2} + t + 6 = 0\)
Phương trình có a = -3, b = 1, c = 6
\(\Delta = {1^2} - 4.( - 3).6 = 73 > 0\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{1 - \sqrt {73} }}{6},{x_2} = \frac{{1 + \sqrt {73} }}{6}\).
c) \(3{x^2} - 6x + 3 = 0\)
Phương trình có a = 3, b = -6, c = 3
\(\Delta = {( - 6)^2} - 4.3.3 = 0\)
Phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = 1\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 10 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Qua phân tích dữ liệu tại một cửa hàng tiện lợi, người ta thấy rằng nếu tăng giá bán của một loại nước ngọt thêm x (nghìn đồng) thì lợi nhuận P (nghìn đồng) thu về trong một tuần sau đó tính được theo công thức:
\(P = - 20{x^2} + 80x + 3300\)
Hỏi cửa hàng phải tăng giá của loại nước ngọt đó thêm bao nhiêu để lợi nhuận thu về trong tuần sau đó đạt mức 3380000 đồng?
Phương pháp giải:
Giải \( - 20{x^2} + 80x + 3300 = 3380\) để tìm x.
Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
- Nếu \(\Delta \)> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\);
- Nếu \(\Delta \) = 0 thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}\);
- Nếu \(\Delta \) < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Giải phương trình:
\( - 20{x^2} + 80x + 3300 = 3380\) (x > 0)
Ta có : \(\Delta = {80^2} - 4.( - 20).( - 80) = 0\)
Suy ra phương trình có nghiệm kép x = 800.
Vậy cửa hàng phải tăng giá của loại nước ngọt đó thêm 800 nghìn đồng.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 11 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Dùng công thức nghiệm thu gọn giải cá phương trình sau:
a) \(3{x^2} - 6x + 5 = 0\)
b) \({y^2} + 4y - 7 = 0\)
c) \({x^2} - 4\sqrt 2 x + 7 = 0\)
Phương pháp giải:
Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\), khi b = 2b’ và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {2b'} \right)^2} - 4ac = 4(b{'^2} - ac)\).
Đặt \(\Delta ' = b{'^2} - ac\), ta được \(\Delta = 4\Delta '\)
- Nếu \(\Delta \)’> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a},{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\);
- Nếu \(\Delta \)’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{{b'}}{a}\);
- Nếu \(\Delta \)’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a) \(3{x^2} - 6x + 5 = 0\)
Phương trình có a = 3, b’ = - 3, c = 5.
\(\Delta ' = {( - 3)^2} - 3.5 = - 6 < 0\)
Phương trình vô nghiệm.
b) \({y^2} + 4y - 7 = 0\)
Phương trình có a = 1, b’ = 2, c = -7.
\(\Delta ' = {2^2} - 1.( - 7) = 11 > 0\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({y_1} = - 2 + \sqrt {11} ,{y_2} = - 2 - \sqrt {11} \).
c) \({x^2} - 4\sqrt 2 x + 7 = 0\)
Phương trình có a = 1, b’ = \( - 2\sqrt 2 \), c = 7.
\(\Delta ' = {\left( { - 2\sqrt 2 } \right)^2} - 1.7 = 1 > 0\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = 2\sqrt 2 + 1,{x_2} = 2\sqrt 2 - 1\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 11SGK Toán 9 Cùng khám phá
Một đàn gấu mèo được thả vào một khu rừng. Sau t tháng, số lượng gấu mèo trong đàn được ước lượng bởi công thức \(P(t) = 4{t^2} + 30t + 100\)(nguồn: Chris Kirkpatrick Barbara Alldred, Crystal Chilvers, Beverly Farahani, Kristina Farentino, Angelo Lillo, lan Macpherson,John Rodger, Susanne Trew, Advanced Function, Nelson 2012, p.86). Theo công thức này, khi nào số các thể của đàn lên đến 200 con?
Phương pháp giải:
Giải phương trình \(4{t^2} + 30t + 100 = 200\) tìm t
Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\), khi b = 2b’ và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {2b'} \right)^2} - 4ac = 4(b{'^2} - ac)\).
Đặt \(\Delta ' = b{'^2} - ac\), ta được \(\Delta = 4\Delta '\)
- Nếu \(\Delta \)’> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a},{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\);
- Nếu \(\Delta \)’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{{b'}}{a}\);
- Nếu \(\Delta \)’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Thay P(t) = 200 vào \(P(t) = 4{t^2} + 30t + 100\) ta được
\(\begin{array}{l}4{t^2} + 30t + 100 = 200\\4{t^2} + 30t - 100 = 0\end{array}\)
Ta có \(\Delta ' = {15^2} - 4.( - 100) = 625 > 0,\sqrt {\Delta '} = 25\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({t_1} = \frac{5}{2} = 2,5(TM),{t_2} = - 10(L)\)
Vậy sau 2,5 tháng thì số các thể của đàn lên đến 200 con.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 12SGK Toán 9 Cùng khám phá
Giải các phương trình sau:
a) \(2{x^2} + 3x - 7 = x(x + 3)\)
b) \(\frac{{x(x - 1)}}{3} + 2 = \frac{{x + 5}}{4}\).
Phương pháp giải:
Biến đổi đưa về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) rồi giải phương trình.
Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\), khi b = 2b’ và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {2b'} \right)^2} - 4ac = 4(b{'^2} - ac)\).
Đặt \(\Delta ' = b{'^2} - ac\), ta được \(\Delta = 4\Delta '\)
Nếu \(\Delta \)’> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a},{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\);
Nếu \(\Delta \)’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{{b'}}{a}\);
Nếu \(\Delta \)’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a) \(2{x^2} + 3x - 7 = x(x + 3)\)
\(\begin{array}{l}2{x^2} + 3x - 7 = {x^2} + 3x\\2{x^2} + 3x - 7 - {x^2} - 3x = 0\\{x^2} - 7 = 0\\{x^2} - 7 = 0\\{x^2} - 7 = 0\\{x^2} = 7\\x = \pm \sqrt 7 \end{array}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = \sqrt 7 ,{x_2} = - \sqrt 7 \)
b) \(\frac{{x(x - 1)}}{3} + 2 = \frac{{x + 5}}{4}\).
\(\begin{array}{l}4x(x - 1) + 2.3.4 = 3(x + 5)\\4{x^2} - 4x + 24 - 3x - 15 = 0\\4{x^2} - 7x + 9 = 0\end{array}\)
\(\Delta ' = {( - 7)^2} - 4.4.9 = - 95 < 0\)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 12SGK Toán 9 Cùng khám phá
Một bức tranh được treo bởi một khung tranh có chiều dài 80 cm, chiều rộng 60 cm và viền khung rộng x (cm) như Hình 6.6.
a) Viết biểu thức biểu thị diện tích của bức tranh.
b) Tìm x, biết diện tích bức tranh là 0,3996 m2.
Phương pháp giải:
Theo đề bài ta có chiều rộng bức tranh là 60 – x (cm), 80 – x (cm).
Dựa vào công thức diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng lập phương trình ẩn x.
Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
Nếu \(\Delta \)> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\);
Nếu \(\Delta \) = 0 thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}\);
Nếu \(\Delta \) < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a) Theo đề bài ta có chiều rộng bức tranh là 60 – x (cm), chiều dài là 80 – x (cm).
Biểu thức biểu thị diện tích của bức tranh là:
S = (60 – x).(80 – x) = \( - {x^2} - 140x + 4800 = 0\).
b) Biết diện tích bức tranh là 0,3996 m2 = 3996 cm2 ta có:
\(\begin{array}{l} - {x^2} - 140x + 4800 = 3996(x > 0)\\ - {x^2} - 140x + 804 = 0\end{array}\)
Ta có \(\Delta = {( - 140)^2} - 4.( - 1).804 = 22816,\sqrt \Delta \approx 151\).
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = 145,5(L),{x_2} = 5,5(TM)\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 12SGK Toán 9 Cùng khám phá
Một bức tranh được treo bởi một khung tranh có chiều dài 80 cm, chiều rộng 60 cm và viền khung rộng x (cm) như Hình 6.6.
a) Viết biểu thức biểu thị diện tích của bức tranh.
b) Tìm x, biết diện tích bức tranh là 0,3996 m2.
Phương pháp giải:
Theo đề bài ta có chiều rộng bức tranh là 60 – x (cm), 80 – x (cm).
Dựa vào công thức diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng lập phương trình ẩn x.
Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
Nếu \(\Delta \)> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\);
Nếu \(\Delta \) = 0 thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{b}{{2a}}\);
Nếu \(\Delta \) < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a) Theo đề bài ta có chiều rộng bức tranh là 60 – x (cm), chiều dài là 80 – x (cm).
Biểu thức biểu thị diện tích của bức tranh là:
S = (60 – x).(80 – x) = \( - {x^2} - 140x + 4800 = 0\).
b) Biết diện tích bức tranh là 0,3996 m2 = 3996 cm2 ta có:
\(\begin{array}{l} - {x^2} - 140x + 4800 = 3996(x > 0)\\ - {x^2} - 140x + 804 = 0\end{array}\)
Ta có \(\Delta = {( - 140)^2} - 4.( - 1).804 = 22816,\sqrt \Delta \approx 151\).
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = 145,5(L),{x_2} = 5,5(TM)\).
Mục 3 trong SGK Toán 9 tập 2 thường tập trung vào các chủ đề quan trọng như hàm số bậc nhất, hệ số góc của đường thẳng, và ứng dụng của hàm số trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững kiến thức nền tảng về hàm số là vô cùng quan trọng, không chỉ cho môn Toán mà còn cho các môn học khác liên quan đến phân tích và xử lý dữ liệu.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định các hệ số a và b trong hàm số y = ax + b dựa trên các thông tin cho trước, chẳng hạn như đồ thị của hàm số hoặc các điểm mà đồ thị đi qua. Để giải bài tập này, học sinh cần hiểu rõ mối liên hệ giữa hệ số góc, tung độ gốc và đồ thị của hàm số.
Bài tập này yêu cầu học sinh tính hệ số góc của đường thẳng dựa trên các thông tin cho trước, chẳng hạn như hai điểm mà đường thẳng đi qua hoặc phương trình của đường thẳng. Hệ số góc là một khái niệm quan trọng trong hình học, nó cho biết độ dốc của đường thẳng so với trục hoành.
Công thức tính hệ số góc khi biết hai điểm (x1, y1) và (x2, y2) là: a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Bài tập này yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về hàm số để giải quyết các bài toán thực tế, chẳng hạn như tính quãng đường đi được của một vật chuyển động đều, tính tiền lương của một công nhân dựa trên số sản phẩm làm được, hoặc tính lợi nhuận của một doanh nghiệp dựa trên số lượng sản phẩm bán ra.
Để giải bài tập này, học sinh cần:
Khi giải các bài tập về hàm số bậc nhất, học sinh cần lưu ý một số điểm sau:
Ví dụ: Cho hàm số y = 2x - 1. Hãy xác định hệ số góc và tung độ gốc của hàm số.
Giải:
Hệ số góc của hàm số là a = 2.
Tung độ gốc của hàm số là b = -1.
Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em học sinh đã có thể tự tin giải các bài tập trong mục 3 trang 9, 10, 11 SGK Toán 9 tập 2. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
