Bài 4. Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác - Giải chi tiết SGK Toán 8 Cánh diều

Trong hình học, đường phân giác của một góc trong tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với một điểm trên cạnh đối diện, sao cho nó chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Bài 4 trong SGK Toán 8 Cánh diều tập trung vào việc khám phá và chứng minh một tính chất quan trọng liên quan đến đường phân giác: tỉ lệ giữa các đoạn thẳng được tạo thành bởi đường phân giác trên cạnh đối diện.

1. Phát biểu tính chất

Nếu một đường thẳng chia một cạnh của tam giác thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh còn lại thì đường thẳng đó là đường phân giác của góc tại đỉnh tương ứng.

Nói cách khác, cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho BD/DC = AB/AC thì AD là đường phân giác của góc BAC.

2. Chứng minh tính chất

Để chứng minh tính chất này, ta thường sử dụng phương pháp chứng minh bằng tam giác đồng dạng. Cụ thể:

1. Vẽ đường thẳng AE sao cho AE // AD (E nằm trên đường thẳng BC).
2. Chứng minh tam giác BDA đồng dạng với tam giác CEA (theo trường hợp góc - góc).
3. Suy ra BD/CE = AB/AC.
4. Vì BD/DC = AB/AC (giả thiết) nên BD/CE = BD/DC.
5. Suy ra CE = DC.
6. Chứng minh tam giác ADC và tam giác AEC có chung cạnh AC, góc ACD = góc ACE và DC = CE nên hai tam giác này bằng nhau (cạnh - góc - cạnh).
7. Suy ra góc DAC = góc EAC, tức là AD là đường phân giác của góc BAC.

3. Ví dụ minh họa

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm. Điểm D nằm trên cạnh BC sao cho BD = 4cm, DC = 6cm. Chứng minh AD là đường phân giác của góc BAC.

Giải:

Ta có BD/DC = 4/6 = 2/3 và AB/AC = 6/9 = 2/3. Do đó, BD/DC = AB/AC. Theo tính chất đường phân giác, AD là đường phân giác của góc BAC.

4. Bài tập vận dụng

Dưới đây là một số bài tập vận dụng để các em luyện tập và củng cố kiến thức về tính chất đường phân giác:

• Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho BD = 3cm, DC = 5cm. Biết AB = 4cm. Tính AC.
• Bài 2: Cho tam giác ABC, AD là đường phân giác. Biết AB = 5cm, AC = 7cm, BD = 3cm. Tính DC.
• Bài 3: Cho tam giác ABC, AD là đường phân giác. Biết AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Tính BD và DC.

5. Lưu ý quan trọng

Khi áp dụng tính chất đường phân giác, các em cần chú ý:

• Đảm bảo rằng điểm D nằm trên cạnh BC.
• Kiểm tra xem tỉ lệ giữa các đoạn thẳng có đúng hay không.
• Sử dụng các kiến thức về tam giác đồng dạng để chứng minh.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác trong SGK Toán 8 Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!