Bài viết này cung cấp đầy đủ và chi tiết lý thuyết về tính chất đường phân giác của tam giác, dựa trên sách giáo khoa Toán 8 - Cánh diều. Chúng tôi sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, các tính chất quan trọng và cách áp dụng chúng vào giải bài tập.
Với phương pháp trình bày dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể, bạn sẽ dễ dàng nắm bắt kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến đường phân giác của tam giác.
Đường phân giác của tam giác có tính chất gì?
Định lí
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
AD là đường phân giác của góc A trong \(\Delta ABC\), \(D \in BC\)
\( \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)
Ví dụ:
RS là tia phân giác của góc \(\widehat {PRQ}\). Sử dụng tính chất đường phân giác, ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{SQ}}{{SR}} = \frac{{RQ}}{{RP}}\\ \Leftrightarrow \frac{{10}}{5} = \frac{x}{6}\\ \Leftrightarrow 2 = \frac{x}{6}\\ \Leftrightarrow x = 12\end{array}\)
Vậy độ dài đoạn thẳng RQ là 12.
Đường phân giác của một tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với một điểm trên cạnh đối diện sao cho chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh còn lại của tam giác.
Trong tam giác ABC, đường thẳng chia góc BAC thành hai góc bằng nhau là đường phân giác của góc BAC. Điểm giao nhau của đường phân giác với cạnh BC được gọi là điểm chia trong của cạnh BC.
Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác là:
Tính chất này còn được gọi là định lý đường phân giác.
Có nhiều cách để chứng minh định lý đường phân giác. Một trong những cách phổ biến nhất là sử dụng diện tích tam giác:
Xét tam giác ABC, AD là đường phân giác của góc BAC. Ta có:
Vì AD là đường phân giác nên góc BAD = góc CAD. Do đó:
Diện tích tam giác ABD / Diện tích tam giác ACD = (AB * sin(BAD)) / (AC * sin(CAD)) = AB/AC
Mặt khác, hai tam giác ABD và ACD có chung chiều cao từ đỉnh A xuống cạnh BC. Vì vậy, tỷ lệ diện tích của chúng bằng tỷ lệ độ dài đáy:
Diện tích tam giác ABD / Diện tích tam giác ACD = BD/DC
Từ hai kết quả trên, ta có: AB/AC = BD/DC. Định lý đường phân giác được chứng minh.
Tính chất đường phân giác được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, AD là đường phân giác của góc BAC (D thuộc BC). Tính BD và DC.
Giải:
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: AB/AC = BD/DC => 6/9 = BD/DC => BD/DC = 2/3
Suy ra BD = 2x, DC = 3x (với x là một số dương).
Vì BD + DC = BC, ta có 2x + 3x = BC => 5x = BC. Để tìm x, cần biết độ dài BC. Nếu BC = 10cm thì x = 2cm, BD = 4cm, DC = 6cm.
Khi áp dụng tính chất đường phân giác, cần đảm bảo rằng điểm D nằm trên cạnh BC. Ngoài ra, cần chú ý đến đơn vị đo độ dài để đảm bảo tính chính xác của kết quả.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết tính chất đường phân giác của tam giác SGK Toán 8 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
