Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết về các phép tính với đa thức nhiều biến trong chương trình Toán 8, sách Cánh diều. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về các khái niệm, định nghĩa, và quy tắc quan trọng liên quan đến chủ đề này.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách thực hiện các phép cộng, trừ, nhân, chia đa thức nhiều biến một cách hiệu quả và chính xác. Đồng thời, bài viết cũng sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về ứng dụng của các kiến thức này trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Cộng hai đa thức nhiều biến như thế nào?
1. Cộng hai đa thức nhiều biến
Để cộng hai đa thức theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:
- Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang;
- Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau;
- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.
2. Trừ hai đa thức nhiềm biến
Để trừ đa thức P cho đa thức Q theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:
- Viết hiệu P và Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc;
- Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức dồng dạng với nhau;
- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.
Ví dụ:
Cho hai đa thức \(A = 3{x^2} - xy\)và \(B = {x^2} + 2xy - {y^2}\)
\(\begin{array}{l}A + B = \left( {3{x^2} - xy} \right) + \left( {{x^2} + 2xy - {y^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^2} - xy + {x^2} + 2xy - {y^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = (3{x^2} + {x^2}) + ( - xy + 2xy) - {y^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{x^2} + xy - {y^2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}A - B = \left( {3{x^2} - xy} \right) - \left( {{x^2} + 2xy - {y^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^2} - xy - {x^2} - 2xy + {y^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = (3{x^2} - {x^2}) + ( - xy - 2xy) + {y^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{x^2} - 3xy + {y^2}\end{array}\)
3. Nhân đa thức
Nhân hai đơn thức
Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các phần biến với nhau; thu gọn đơn thức nhận được ở tích.
Ví dụ: \(( - 3{x^2}y)(4xy) = \left[ {\left( { - 3.4} \right)} \right].({x^2}.x).\left( {y.y} \right) = - 12.{x^3}.{y^2}\)
Nhân đơn thức với đa thức
Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}3{x^2}y\left( {2{x^2}y - xy + 3{y^2}} \right)\\ = (3{x^2}y).(2{x^2}y) - (3{x^2}y).(xy) + (3{x^2}y).(3{y^2})\\ = 3.2.({x^2}.{x^2})\left( {y.y} \right) - 3.({x^2}.x).\left( {y.y} \right) + 3.3.{x^2}.\left( {y.{y^2}} \right)\\ = 6{x^4}{y^2} - 3{x^3}.{y^2} + 9{x^2}{y^3}\end{array}\)
Nhân hai đa thức
Để nhân hai đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau.
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}(xy + 1)(xy - 3)\\ = (xy).\left( {xy} \right) + xy - 3xy - 3\\ = {x^2}{y^2} - 2xy - 3\end{array}\)
4. Chia đa thức cho đơn thức
Hai đơn thức chia hết cho nhau
Đơn thức A chia hết cho đơn thức B (\(B \ne 0\)) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.
Chia đa thức cho đơn thức
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (với A chia hết cho B), ta làm như sau:
- Chia hệ số của A cho hệ số của B.
- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.
- Nhân các kết quả vừa tìm được cho nhau.
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}16{x^4}{y^3}:( - 8{x^3}{y^2})\\ = (16:( - 8)).({x^4}:{x^3}).\left( {{y^3}:{y^2}} \right)\\ = - 2xy\end{array}\)
Đa thức chia hết cho đơn thức
Đa thức A chia hết cho B (\(B \ne 0\)) khi mỗi đơn thức của A chia hết cho B.
Chia đa thức cho đơn thức
Muốn chia một đa thức cho một đơn thức (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó, rồi cộng các kết quả tìm được với nhau.
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}({x^2}y + {y^2}x):xy\\ = {x^2}y:xy + {y^2}x:xy\\ = x + y\end{array}\)
Đa thức nhiều biến là biểu thức đại số chứa nhiều biến khác nhau. Việc nắm vững lý thuyết và các phép tính với đa thức nhiều biến là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán học.
Đa thức nhiều biến là tổng của các đơn thức nhiều biến. Một đơn thức nhiều biến là tích của các biến và các hằng số. Ví dụ:
Bậc của một đơn thức nhiều biến là tổng số mũ của các biến trong đơn thức đó. Bậc của một đa thức nhiều biến là bậc cao nhất của các đơn thức trong đa thức đó.
Để cộng hoặc trừ hai đa thức nhiều biến, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ: (2x2y + 3xy2) + (x2y - xy2) = (2x2y + x2y) + (3xy2 - xy2) = 3x2y + 2xy2
Để nhân hai đa thức nhiều biến, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ: (x + y)(x - y) = x(x - y) + y(x - y) = x2 - xy + xy - y2 = x2 - y2
Phép chia đa thức nhiều biến phức tạp hơn phép cộng, trừ, nhân. Để chia đa thức nhiều biến, ta thường sử dụng phương pháp chia đa thức một biến hoặc phương pháp đặt nhân tử chung.
Có một số hằng đẳng thức đáng nhớ liên quan đến đa thức nhiều biến, giúp chúng ta giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả. Một số hằng đẳng thức phổ biến bao gồm:
Để củng cố kiến thức về các phép tính với đa thức nhiều biến, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Lý thuyết về các phép tính với đa thức nhiều biến là một phần quan trọng trong chương trình Toán 8. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán đại số và chuẩn bị tốt cho các chương trình học nâng cao hơn. Hãy dành thời gian ôn tập và thực hành thường xuyên để đạt được kết quả tốt nhất.
| Phép tính | Quy tắc |
|---|---|
| Cộng/Trừ | Cộng/Trừ các hệ số của các đơn thức đồng dạng |
| Nhân | Nhân mỗi đơn thức của đa thức thứ nhất với mỗi đơn thức của đa thức thứ hai |
| Chia | Sử dụng phương pháp chia đa thức hoặc đặt nhân tử chung |
