giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán năm học 2022 – 2023 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đắk Nông. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, quốc gia.
Đề thi bao gồm 3 bài toán, được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt. Dưới đây là phân tích chi tiết về từng bài toán:
Cho phương trình ax3 + 27x2 + 12x + 2022 = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực: 4(ax3 + 27x2 + 12x + 2022)(3ax + 27) = (3ax2 + 54x + 12)2 với a ≠ 0.
Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về phương trình bậc ba, điều kiện có nghiệm thực phân biệt và kỹ năng biến đổi phương trình. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần sử dụng các phương pháp như phân tích đa thức thành nhân tử, xét dấu và đánh giá nghiệm. Việc tìm mối liên hệ giữa hai phương trình là chìa khóa để giải quyết bài toán.
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc trong tại M (đường tròn (O2) nằm trong). Hai điểm P và Q thuộc đường tròn (O2), qua P kẻ tiếp tuyến với (O2) cắt (O1) tại B và D, qua Q kẻ tiếp tuyến với (O2) cắt (O1) tại A và C. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ACD, BCD nằm trên PQ.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phẳng đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đường tròn, tiếp tuyến, tính chất đối xứng và các định lý liên quan đến đường tròn nội tiếp. Bài toán này yêu cầu học sinh có khả năng vẽ hình chính xác, phân tích các mối quan hệ hình học và sử dụng các công cụ như định lý Ceva, định lý Menelaus hoặc các phép biến hình để chứng minh.
Cho tam giác ABC, trên trung tuyến AD lấy điểm I cố định. Đường thẳng d đi qua I lần lượt cắt cạnh AB, AC tại M, N. Tìm vị trí của đường thẳng d để diện tích tam giác AMN đạt giá trị nhỏ nhất.
Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về hình học phẳng (tam giác, trung tuyến) và tối ưu hóa diện tích. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần sử dụng các công thức tính diện tích tam giác, biểu diễn diện tích tam giác AMN theo các yếu tố liên quan đến vị trí của đường thẳng d và áp dụng các phương pháp tối ưu hóa (ví dụ: sử dụng bất đẳng thức, đạo hàm) để tìm ra vị trí của d sao cho diện tích AMN nhỏ nhất.
Nhìn chung, đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán năm học 2022 – 2023 tỉnh Đắk Nông là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, giúp đánh giá năng lực của học sinh một cách toàn diện. Việc luyện tập với đề thi này sẽ giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và nâng cao kiến thức môn Toán.
