giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Nam tổ chức (đợt 1), diễn ra vào ngày 07 tháng 10 năm 2022. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và khả năng vận dụng linh hoạt các kỹ năng giải toán.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định nằm trên đường tròn (O) sao cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Xét một điểm C trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC không cân tại C. Gọi (O1) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại C; (O2) là đường tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại điểm thứ hai là D (D khác C).
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về đường tròn, tính chất tiếp tuyến, và các định lý liên quan đến đường tròn ngoại tiếp. Điểm mấu chốt để giải quyết bài toán là việc sử dụng các tính chất hình học một cách khéo léo, kết hợp với việc xây dựng các mối quan hệ giữa các điểm và đường thẳng. Phần b của bài toán đòi hỏi thí sinh phải có khả năng tìm ra điểm cố định thông qua việc sử dụng phương pháp tọa độ hoặc các phương pháp biến đổi hình học.
Cho tập hợp X có 2023 phần tử. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn hai tập hợp con khác nhau của X sao cho giao của hai tập hợp này là một tập hợp có đúng một phần tử?
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực tổ hợp, đòi hỏi thí sinh phải hiểu rõ về các khái niệm như tập hợp con, giao của hai tập hợp, và các công thức tính số phần tử của tập hợp. Để giải quyết bài toán, cần xác định chính xác số cách chọn một phần tử làm phần tử duy nhất trong giao của hai tập hợp con, sau đó tính số cách chọn các phần tử còn lại cho mỗi tập hợp con.
Tìm tất cả các cặp số nguyên tố p và q thỏa mãn 2p + 2q chia hết cho p.q.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực số học, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các tính chất của số nguyên tố, tính chất chia hết, và các phương pháp chứng minh số học. Để giải quyết bài toán, cần sử dụng các tính chất của số nguyên tố để phân tích và đánh giá biểu thức 2p + 2q, sau đó tìm ra các điều kiện cần và đủ để biểu thức này chia hết cho p.q.
Đánh giá chung: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam năm 2022 – 2023 có cấu trúc khá cân đối, bao gồm các bài toán thuộc các lĩnh vực khác nhau của chương trình Toán THPT. Các bài toán đều có tính chất thách thức, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng và khả năng giải quyết vấn đề tốt. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi môn Toán.
