đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2022 – 2023 sở gd&đt quảng ninh

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh tổ chức. Kỳ thi được thực hiện trong hai ngày, ngày 06/10/2022 (Ngày thi thứ nhất) và ngày 07/10/2022 (Ngày thi thứ hai). Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Tìm tất cả các đa thức P(x) hệ số thực, thỏa mãn: Nếu tồn tại các số thực a, b, c sao cho 7P(a) + 10P(b) + 2022P(c) = 0 thì 7a + 10b + 2022c = 0.
   Nhận xét: Đây là một bài toán về đa thức, đòi hỏi thí sinh phải vận dụng kiến thức về tính chất của đa thức, các phép biến đổi đại số và có khả năng suy luận logic. Bài toán có thể được tiếp cận bằng cách xét các trường hợp đặc biệt của a, b, c hoặc sử dụng các kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng.
2. Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định, BC cố định và điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn, không cân. Lấy điểm X trên đường thẳng AC và điểm Y trên đường thẳng AB sao cho BX vuông góc với BC, CY vuông góc với BC. Đường tròn (AXY) cắt (O) tại L khác A.
   a) Gọi AD là đường kính của (O). Chứng minh rằng đường thẳng DL luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
   b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của BX, CY với đường tròn (AXY). Chứng minh rằng giao điểm của PQ và tiếp tuyến tại A của đường tròn (AXY) luôn nằm trên một đường cố định.
   c) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại A của đường tròn (AXY), tiếp tuyến tại L của (O) và đường thẳng BC đồng quy.
   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phức tạp, kết hợp nhiều kiến thức về đường tròn, tam giác, đường thẳng và các tính chất liên quan. Để giải quyết bài toán này, thí sinh cần có khả năng vẽ hình chính xác, sử dụng các định lý hình học một cách linh hoạt và có kỹ năng biến đổi hình học tốt. Các phương pháp thường được sử dụng bao gồm phương pháp tọa độ, phương pháp sử dụng các tính chất của đường tròn và tam giác, và phương pháp sử dụng các phép biến hình.
3. Bài 3: Có 2022 học sinh ngồi thành một vòng tròn. Ban đầu, một học sinh nào đó sẽ được đưa cho n đồng xu, n là số nguyên dương. Ở mỗi lượt, tất cả các học sinh hiện có ít nhất 2 đồng xu sẽ chuyển 2 đồng xu sang hai học sinh ngồi bên cạnh (mỗi người 1 đồng xu).
   a) Chứng minh rằng với n < 2022, quá trình này sẽ dừng sau hữu hạn lượt.
   b) Chứng minh rằng với n = 2022, quá trình này sẽ kéo dài vô hạn.
   Nhận xét: Đây là một bài toán về số học và tổ hợp, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về dãy số, giới hạn và các tính chất của số nguyên. Bài toán có thể được giải quyết bằng cách phân tích sự thay đổi số lượng đồng xu của mỗi học sinh qua các lượt, và sử dụng các kỹ thuật chứng minh bằng quy nạp hoặc bằng cách xét các trường hợp đặc biệt.

Bộ đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi môn Toán. Việc giải các bài toán trong đề thi này sẽ giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.