giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 12 THPT năm học 2022 – 2023 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 27 tháng 09 năm 2022, đây là một đề thi có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết bài toán linh hoạt.
Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1; un+1 = un + 2/un + n/un^4 với mọi n nguyên dương. Chứng minh dãy số (yn) với yn = un/n (n nguyên dương) có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó.
Nhận xét: Đây là một bài toán về dãy số, yêu cầu thí sinh phải sử dụng các kỹ năng phân tích, đánh giá để chứng minh sự hội tụ của dãy số. Việc đưa về dạng yn = un/n là một bước đi thông minh, giúp đơn giản hóa bài toán và dễ dàng tìm ra giới hạn.
Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. H là hình chiếu vuông góc của D lên EF. Tia IH cắt đường tròn (O) tại K. Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác KBF, KCE cắt nhau tại T khác K. Gọi M là trung điểm TD. Qua M kẻ tiếp tuyến MN của đường tròn (I) (N là tiếp điểm khác D). a) Chứng minh T, E, F thẳng hàng và đường tròn ngoại tiếp tam giác NBC tiếp xúc (I). b) AN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NBC ở S khác N. Hai tiếp tuyến của đường tròn (I) kẻ từ S cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NBC lần lượt tại P, Q. Chứng minh hai đường thẳng PQ và BC song song với nhau.
Nhận xét: Bài toán này là một bài hình học phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, các tính chất liên quan đến tiếp tuyến và góc. Việc sử dụng các định lý về đường tròn, tam giác, và các phép biến hình là cần thiết để giải quyết bài toán này. Bài toán có tính chất "cascade", tức là kết quả của câu a) sẽ được sử dụng để giải câu b).
Hình vuông ABCD có độ dài cạnh là 2023 được chia thành 2023^2 ô vuông đơn vị. Ta kí hiệu (m;n) là ô ở hàng thứ m và cột thứ n. Người ta tô tất cả các ô vuông đơn vị bởi hai màu xanh, đỏ sao cho hai ô khác nhau đối xứng qua đường thẳng AC thì được tô khác màu. Gọi S là tập hợp các bộ ba số m, n, p đôi một khác nhau (không phân biệt thứ tự); m, n, p thuộc {1; 2; 3; …; 2023} sao cho các ô (m;n), (n;p) và (p;m) có cùng màu. Kí hiệu |S| là số phần tử tập hợp S. a) Tồn tại hay không cách tô màu sao cho |S| = 0? b) Chứng minh rằng: |S| =< 1^2 + 2^2 + … +1011^2.
Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp khá thú vị, kết hợp giữa tư duy logic và kỹ năng đếm. Điều kiện đối xứng qua đường thẳng AC tạo ra một cấu trúc đặc biệt cho bài toán, đòi hỏi thí sinh phải khai thác triệt để. Câu a) yêu cầu tìm một cách tô màu thỏa mãn điều kiện, trong khi câu b) yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức, đòi hỏi thí sinh phải có kỹ năng đánh giá và sử dụng các công thức tổ hợp.
Đánh giá chung: Đề thi có cấu trúc rõ ràng, bao gồm các bài toán về dãy số, hình học và tổ hợp. Các bài toán đều có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết bài toán linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi này là một thử thách tốt cho các học sinh có năng lực và đam mê với môn Toán.
