giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Cà Mau tổ chức, diễn ra vào ngày 02 tháng 10 năm 2022. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán tiếp theo.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Hộp thứ nhất chứa 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Hộp thứ hai chứa 8 sản phẩm, trong đó có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 sản phẩm. Tính xác suất để lấy được ít nhất 3 sản phẩm tốt.
Nhận xét: Đây là một bài toán quen thuộc về xác suất, đòi hỏi học sinh nắm vững các công thức tính xác suất của biến cố, tổ hợp và hoán vị. Bài toán yêu cầu tính xác suất của một biến cố phức tạp (ít nhất 3 sản phẩm tốt), do đó, cần phân tích kỹ lưỡng các trường hợp có thể xảy ra và tính toán một cách chính xác.
Cho tam giác nhọn ABC (AC > BC) có các đường cao AH và BK (H thuộc BC, K thuộc AC). Trên đường tròn (O) đường kính AB, về phía trong tam giác ABC, lấy điểm D thay đổi. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD và BCD lần lượt cắt lại đường thẳng AB ở E, F. Giả sử AH cắt CE, CF lần lượt ở M, Q và BK cắt CE, CF lần lượt ở P, N.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian khá phức tạp, đòi hỏi học sinh có kiến thức vững chắc về đường tròn, tam giác, đường cao, và các tính chất liên quan đến tứ giác nội tiếp. Việc chứng minh các điểm thẳng hàng và tam giác vuông đòi hỏi sự khéo léo trong việc sử dụng các định lý và tính chất hình học. Phần c của bài toán là phần khó nhất, đòi hỏi học sinh phải tìm ra một đường tròn cố định mà điểm T luôn thuộc, điều này thường liên quan đến việc sử dụng các phép biến hình hoặc các tính chất đối xứng.
Cho hàm số f: R → R thỏa mãn: f(xf(y) – 1) + f(xy) = 2xy − 1 với mọi x, y thuộc R (*).
Nhận xét: Đây là một bài toán về hàm số, đòi hỏi học sinh có khả năng phân tích và giải quyết các phương trình hàm. Việc chứng minh hàm số đơn ánh thường dựa trên việc giả sử hai giá trị của hàm số bằng nhau và chứng minh hai giá trị tương ứng của biến số cũng bằng nhau. Phần b của bài toán là phần quan trọng nhất, đòi hỏi học sinh phải tìm ra tất cả các hàm số thỏa mãn phương trình hàm đã cho, thường bằng cách tìm ra một hàm số thỏa mãn và chứng minh tính duy nhất của nó.
Nhìn chung, đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, kỹ năng giải toán tốt và khả năng tư duy logic. Đề thi bao gồm các dạng toán quen thuộc như xác suất, hình học và hàm số, nhưng được trình bày dưới dạng phức tạp và đòi hỏi sự sáng tạo trong cách giải.
