giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển thành phố Hà Nội tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tổ chức. Kỳ thi được thực hiện trong hai vòng: vòng 1 vào ngày 22/10/2022 và vòng 2 vào ngày 23/10/2022.
Bộ đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Dưới đây là nội dung chi tiết của các bài toán trong đề thi:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ AC lấy điểm D sao cho tứ giác ABCD không là hình thang. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOD và đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt nhau tại hai điểm phân biệt H và O. Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đường tròn, tứ giác nội tiếp, và các tính chất liên quan đến giao điểm của đường tròn. Ý a đòi hỏi sự quan sát tinh tế và sử dụng các tính chất về góc để chứng minh tính vuông góc. Ý b là một bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp, đòi hỏi học sinh phải tìm ra mối liên hệ giữa các điểm và sử dụng các định lý liên quan.
Cho tập hợp M gồm 10 màu khác nhau và hai đoạn thẳng AB, CD cùng có độ dài bằng 100. Chia AB thành 100 đoạn và tô mỗi màu trong M cho đúng 10 đoạn. Chia CD thành 10 đoạn và tô mỗi màu trong M cho đúng 1 đoạn. Chồng khớp AB lên CD sao cho A trùng C và B trùng D. Gọi S là tổng độ dài của các phần có chung màu trên AB và CD.
Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp khá thú vị, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng xây dựng các trường hợp để chứng minh. Ý a yêu cầu học sinh chứng minh sự tồn tại của một cách tô màu đặc biệt, trong khi ý b yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức. Bài toán này có thể được giải bằng cách sử dụng các kỹ thuật đếm và đánh giá.
Cho số nguyên dương n lớn hơn 3. Viết các số 1, 2, …, n vào các ô vuông của bảng ô vuông cỡ n x n sao cho hai ô vuông khác nhau được viết hai số khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại hai ô vuông nằm trên cùng một hàng hoặc nằm trên cùng một cột sao cho hiệu của hai số được viết trên hai ô vuông đó lớn hơn n²/2.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực số học và tư duy logic. Để giải bài toán này, học sinh cần sử dụng các kỹ thuật chứng minh phản chứng và đánh giá. Ý tưởng chính là giả sử điều ngược lại, tức là hiệu của hai số bất kỳ trên cùng một hàng hoặc cột không lớn hơn n²/2, sau đó dẫn đến mâu thuẫn.
Bộ đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán. Việc luyện tập và giải các bài toán trong đề thi sẽ giúp các em nâng cao kiến thức, rèn luyện kỹ năng và làm quen với cấu trúc đề thi.
