giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn học sinh vào đội dự tuyển thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2023 – 2024 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai tổ chức. Đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo.
Bài toán 1: Dãy số và tính chất số học
Cho dãy số (un) thỏa mãn u1 = 1 và un + 1 = 3un + 10 với mọi số nguyên dương n.
Yêu cầu a: Tìm công thức tổng quát của dãy số (un) và tìm số dư trong phép chia up cho p với p là số nguyên tố lớn hơn 3.
Đây là một bài toán quen thuộc về dãy số, yêu cầu thí sinh phải sử dụng các phương pháp tìm công thức tổng quát như phương pháp đặc trưng hoặc phương pháp lặp. Việc tìm số dư trong phép chia up cho p đòi hỏi kiến thức về đồng dư thức và định lý Fermat nhỏ.
Yêu cầu b: Chứng minh với số nguyên dương t > 1 tồn tại số nguyên dương s > t sao cho số ước nguyên tố của us lớn hơn 2 lần số ước nguyên tố của ut.
Đây là một bài toán khó, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu về lý thuyết số, đặc biệt là về ước số và số nguyên tố. Bài toán này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các tính chất của dãy số và phân tích cấu trúc ước số của us và ut.
Bài toán 2: Tổ hợp và bài toán đếm
Cho 2024 viên bi được sắp xếp thành một hàng ngang. Tính số các cách đặt 29 chiếc thẻ vào giữa các viên bi thỏa mãn ở giữa hai viên bi kề nhau chỉ có nhiều nhất một chiếc thẻ và các viên bi đã cho được chia thành 30 phần mà mỗi phần có ít nhất 9 viên bi.
Bài toán này là một bài toán tổ hợp phức tạp, yêu cầu thí sinh phải sử dụng các kỹ năng đếm và tư duy logic. Để giải quyết bài toán này, cần xác định rõ các điều kiện ràng buộc và sử dụng các công cụ như nguyên lý bù trừ hoặc phương pháp đếm trực tiếp.
Bài toán 3: Tổ hợp và đối xứng
Cho 2024 viên bi giống nhau được đặt vào các đỉnh của hình đa giác đều có 2024 cạnh nội tiếp đường tròn (O), mỗi đỉnh chỉ có một viên bi. Tính số các cách đặt 29 chiếc thẻ giống nhau vào trung điểm các cạnh của đa giác đã cho thỏa mãn tại mỗi trung điểm có nhiều nhất một chiếc thẻ và các viên bi đã cho được chia thành 29 phần, mà mỗi phần có ít nhất 9 viên bi (biết hai cách đặt thẻ được coi là như nhau nếu tồn tại một phép quay quanh tâm O biến cách chia này thành cách chia kia).
Bài toán này kết hợp kiến thức về tổ hợp và đối xứng. Yêu cầu thí sinh phải hiểu rõ về phép quay quanh tâm và sử dụng quy tắc Burnside để loại bỏ các cách đặt thẻ tương đương. Bài toán này đòi hỏi sự chính xác và cẩn thận trong tính toán.
Nhìn chung, đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán năm 2023 – 2024 tỉnh Đồng Nai có chất lượng tốt, bao gồm các bài toán có tính phân loại cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Đề thi tập trung vào các chủ đề quan trọng như dãy số, lý thuyết số, tổ hợp và đối xứng. Đây là một đề thi tham khảo hữu ích cho các thí sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi HSG Quốc gia.
