giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn học sinh giỏi (HSG) cấp tỉnh môn Toán năm học 2023 – 2024, do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ngãi tổ chức. Kỳ thi diễn ra trong hai ngày 03 và 04 tháng 10 năm 2023, là bước đệm quan trọng để lựa chọn đội tuyển tham gia kỳ thi HSG Quốc gia.
Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi, kèm theo một số nhận xét ban đầu về độ khó và hướng tiếp cận:
Cho số nguyên dương a. Một số nguyên dương b được gọi là số “tốt” nếu với mọi số nguyên dương n mà an ≥ b. Chứng minh rằng:
Nhận xét: Bài toán này mang tính chất đại số, đòi hỏi thí sinh phải hiểu rõ về lũy thừa, bất đẳng thức và tính chất của số nguyên tố. Ý a có vẻ dễ tiếp cận hơn, có thể sử dụng phản chứng để chứng minh. Ý b khó hơn, đòi hỏi sự liên kết giữa các khái niệm và kỹ năng chứng minh.
Cho tam giác ABC không cân. Một đường tròn (O) đi qua B, C lần lượt cắt các đoạn thẳng AB, AC tại F, E (khác B, C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE cắt đường thẳng CF tại M, N sao cho M nằm giữa C và F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACF cắt đường thẳng BE tại P, Q sao cho P nằm giữa B và E.
Nhận xét: Đây là một bài hình học phẳng khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh có khả năng quan sát tốt, vận dụng linh hoạt các định lý về đường tròn, tứ giác nội tiếp và các tính chất liên quan đến góc. Ý a là bước đệm quan trọng để giải quyết ý b. Ý b có thể sử dụng định lý Ceva hoặc Menelaus để chứng minh sự đồng quy.
Người ta viết các số 1, 2, 3, 4, …, 2022, 2023 lên bảng (mỗi số đúng 1 lần) rồi tô màu ít nhất 1011 số trong các số đó theo quy luật sau: Nếu số x được tô màu thì số 2x cũng được tô màu (nếu 2x có trên bảng). Nếu hai số x, y được tô màu thì số x + y cũng được tô màu (nếu x + y có trên bảng). Gọi T là tổng tất cả các số không được tô màu trên bảng. Tìm giá trị lớn nhất của T.
Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về tổ hợp và số học, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng tìm kiếm các trường hợp đặc biệt. Việc tìm ra chiến lược tô màu hợp lý để tối đa hóa tổng các số không được tô màu là một thách thức không nhỏ. Có thể cần phải xem xét các số nhỏ trước để tìm ra quy luật.
Nhìn chung, đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi năm 2023 – 2024 có độ khó tương đối cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết bài toán tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Đây là một bộ đề thi chất lượng, có thể giúp các em học sinh rèn luyện và nâng cao trình độ để chuẩn bị cho kỳ thi HSG Quốc gia.
