đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2023 – 2024 sở gd&đt lạng sơn

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2023 – 2024 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn tổ chức. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Xét các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn tính chất: "Với bất kì hai số thực x, y luôn có |y² – P(x)| ≤ 2|x| khi và chỉ khi |x² – P(y)| ≤ 2|y|". Gọi S là tập tất cả các đa thức thỏa mãn điều kiện trên.
   • a) Chứng minh rằng họ đa thức P(x) = C với C > 0 và đa thức Q(x) = x² + 1 cùng thuộc vào tập S.
   • b) Giả sử rằng P(x) thuộc S và P(0) ≥ 0. Chứng minh rằng P(x) là hàm số chẵn.
   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc khảo sát các đa thức thỏa mãn một điều kiện đối xứng đặc biệt. Phần a yêu cầu thí sinh kiểm tra hai đa thức cụ thể, đòi hỏi sự hiểu biết về các tính chất của đa thức và bất đẳng thức. Phần b là phần khó hơn, đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các kỹ năng phân tích và chứng minh hàm số, kết hợp với điều kiện đối xứng đã cho.
2. Bài 2: Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Giả sử G, L, K lần lượt là giao điểm của các đường thẳng EF, FD, DE với BC, CA, AB tương ứng.
   • a) Chứng minh rằng G, L, K thẳng hàng.
   • b) Lấy các điểm P, Q lần lượt đối xứng với D qua B, C tương ứng. Đường tròn bàng tiếp tâm J ứng với đỉnh A của tam giác ABC tiếp xúc với BC tại N; gọi R là điểm đối xứng với N qua J. Chứng minh đường tròn (PQR) tiếp xúc với đường tròn (I).
   Nhận xét: Bài toán này thuộc về hình học phẳng, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các định lý về đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp, và các tính chất của phép đối xứng. Phần a là một bài toán về đường thẳng, có thể giải quyết bằng định lý Ceva hoặc Menelaus. Phần b phức tạp hơn, đòi hỏi sự kết hợp của nhiều kiến thức và kỹ năng, bao gồm cả việc sử dụng tính chất của phép biến hình.
3. Bài 3: Một trường có 2007 nam và 2007 nữ. Mỗi học sinh tham gia không quá 100 câu lạc bộ; biết rằng bất kì hai bạn khác giới (1 nam và 1 nữ) tham gia ít nhất cùng một câu lạc bộ. Chứng minh rằng tồn tại một câu lạc bộ bao gồm ít nhất 11 nam và 11 nữ. Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp, có tính chất ứng dụng cao. Bài toán yêu cầu thí sinh phải sử dụng các kỹ năng đếm, ước lượng và chứng minh sự tồn tại. Để giải quyết bài toán này, có thể sử dụng nguyên lý Dirichlet hoặc các kỹ thuật phân tích khác.

Đánh giá chung:

Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Lạng Sơn năm 2023 – 2024 có cấu trúc khá cân đối, bao gồm các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học (đại số, hình học, tổ hợp). Các bài toán đều có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán.