đề học sinh giỏi toán 12 chuyên năm 2023 – 2024 sở gd&đt vĩnh phúc

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 12 THPT năm học 2023 – 2024 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc tổ chức. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Lý thuyết số

   Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1. Kí hiệu G(n) là ước nguyên tố lớn nhất của n.

   • a) Chứng minh rằng nếu n + 1 là lũy thừa của 2 và n chia hết cho 11 thì G(n) > 11.
   • b) Hai số nguyên tố phân biệt p, q được gọi là xa lạ nếu không tồn tại số nguyên dương n lớn hơn 1 để hai tập hợp {p;q} và {G(n);G(n + 1)} trùng nhau. Chứng minh rằng nếu p < q là hai số nguyên tố lẻ sao cho ord_p2 = ord_q2 thì 2 và p là hai số xa lạ và có vô hạn cặp số nguyên tố (p;q) sao cho p < q và hai số p và q là xa lạ.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về ước số, số nguyên tố và lý thuyết số cơ bản. Câu a yêu cầu học sinh vận dụng tính chất chia hết và lũy thừa của 2 để chứng minh. Câu b đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về khái niệm số nguyên tố xa lạ và ứng dụng của định lý nhỏ Fermat (thông qua ord_p2).

2. Bài 2: Hình học

   Cho tam giác ABC nhọn và cân tại đỉnh A. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của CB và CA, M là trung điểm của DE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt cạnh AB tại điểm N. Tiếp tuyến tại M và N của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt nhau tại điểm P.

   • a) Đường thẳng AM cắt tiếp tuyến tại E của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM ở điểm Q. Chứng minh rằng P, D, Q thẳng hàng.
   • b) Chứng minh rằng điểm P nằm trên đường thẳng BC.

   Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi học sinh có khả năng vẽ hình chính xác, vận dụng các định lý về đường tròn ngoại tiếp, tiếp tuyến và các tính chất của tam giác cân. Việc sử dụng phương pháp tọa độ hoặc biến đổi hình học có thể hỗ trợ giải quyết bài toán một cách hiệu quả.

3. Bài 3: Tổ hợp

   Cho số nguyên dương n > 1, số nguyên dương k được gọi là n-good nếu với mọi cách tô màu mỗi số nguyên dương 1; 2; …; k bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ thì ta luôn chọn được n số cùng màu (không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng của n số này cũng nằm trong tập hợp {1; 2; …; k} và cùng màu với n số vừa chọn.

   • a) Tìm số 2-good nhỏ nhất.
   • b) Tìm số 2024-good nhỏ nhất.

   Nhận xét: Bài toán tổ hợp này mang tính chất khám phá và đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic cao. Việc phân tích các trường hợp tô màu và sử dụng nguyên lý Dirichlet có thể giúp tìm ra lời giải. Câu b có độ khó cao hơn và yêu cầu học sinh phải có khả năng tổng quát hóa và đưa ra các đánh giá chính xác.

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm 2023 – 2024 là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi. Việc giải chi tiết đề thi này sẽ giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và nâng cao khả năng giải quyết các bài toán khó.