giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán cấp thành phố Hà Nội, vòng sơ tuyển để tham gia kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025. Kỳ thi chính thức được tổ chức vào ngày 11/10/2024 và 12/10/2024. Điểm đặc biệt của bộ đề này là được cung cấp kèm theo đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ tối đa cho quá trình ôn luyện và tự học.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p; q) sao cho tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn n|p – q| + 1 chia hết cho pq.
Nhận xét: Đây là một bài toán số học đòi hỏi sự hiểu biết về tính chất chia hết, số nguyên tố và khả năng vận dụng linh hoạt các kỹ thuật ước lượng. Để giải quyết bài toán này, cần phân tích kỹ điều kiện chia hết và xét các trường hợp khác nhau của p và q. Việc sử dụng các tính chất của số nguyên tố sẽ giúp thu hẹp phạm vi tìm kiếm và đưa ra kết luận chính xác.
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có đường cao AD. Gọi E là một điểm trên cạnh AB (E khác A và B). Đường thẳng CE cắt đường thẳng AD tại điểm M. Gọi X là một điểm thay đổi trên tia đối của tia ED và Y là điểm đối xứng với X qua đường thẳng AD.
Nhận xét: Bài toán hình học này kết hợp kiến thức về đường thẳng, đường tròn, đối xứng và định lý Ceva/Menelaus. Phần a yêu cầu khả năng chứng minh ba đường thẳng đồng quy, thường sử dụng định lý Ceva hoặc Menelaus một cách khéo léo. Phần b đòi hỏi sự quan sát tinh tế và khả năng xây dựng các đường tròn ngoại tiếp để tìm ra mối liên hệ giữa các điểm và chứng minh P nằm trên một đường thẳng cố định. Đây là một bài toán có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy hình học tốt và kỹ năng biến đổi linh hoạt.
Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Gọi S là tập hợp tất cả số tự nhiên có 100 chữ số được thành lập từ các chữ số thuộc tập hợp A, sao cho trong mỗi số thuộc S hai chữ số kề nhau bất kì là hai số tự nhiên liên tiếp. Tìm số dư khi chia số phần tử của S cho 4.
Nhận xét: Bài toán tổ hợp này liên quan đến việc đếm số lượng các số thỏa mãn điều kiện cho trước. Để giải quyết bài toán này, cần xác định quy luật hình thành các số thuộc S và sử dụng kỹ thuật đếm tổ hợp. Việc tìm số dư khi chia cho 4 đòi hỏi sự hiểu biết về tính chất đồng dư và khả năng áp dụng vào bài toán đếm.
Bộ đề thi này được đánh giá là có độ khó tương đối cao, phù hợp với mục tiêu tuyển chọn học sinh có năng lực và đam mê với môn Toán để tham gia kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia. Việc luyện tập và giải các bài toán trong đề thi này sẽ giúp các em học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi sắp tới.
