đề học sinh giỏi cấp tỉnh toán thcs năm 2022 – 2023 sở gd&đt quảng ninh

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh tổ chức, diễn ra vào ngày 14 tháng 3 năm 2023. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho việc ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán THCS.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Với n là số nguyên, chứng minh rằng giá trị của biểu thức A = 3n³ – 3n² + n + 1 không chia hết cho 125.

   Nhận xét: Đây là một bài toán về tính chia hết, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về các tính chất chia hết và khả năng biến đổi đại số linh hoạt. Việc chứng minh A không chia hết cho 125 có thể được thực hiện bằng cách xét các trường hợp của n theo modulo 5 và sử dụng các tính chất của đồng dư.

2. Bài 2: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố (p; q; r) thỏa mãn (p² + 1)(q² + 3) = r² + 21.

   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về số nguyên tố và phương trình Diophantine. Để giải bài toán này, cần phân tích cấu trúc của phương trình, sử dụng các tính chất của số nguyên tố và thử các trường hợp có thể xảy ra. Bài toán đòi hỏi sự suy luận logic và khả năng loại trừ.

3. Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi (I) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại C. Đường trung tuyến AD của tam giác ABC cắt đường tròn (I) tại M (M khác A). Đường thẳng BM cắt AC và đường tròn (O) lần lượt tại H và F (F khác B). Đường thẳng CM cắt AB và đường tròn (O) lần lượt tại K và E (E khác C).
   • a) Chứng minh ΔDBM đồng dạng với ΔDAB.
   • b) Chứng minh AKMH là tứ giác nội tiếp.
   • c) Đường thẳng BM cắt đường tròn (I) tại Q (Q khác M). Chứng minh đường thẳng AF đi qua trung điểm của đoạn thẳng CQ.

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng về các tính chất của đường tròn, tam giác, đường trung tuyến và các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Việc giải bài toán này đòi hỏi khả năng vẽ hình chính xác, phân tích các mối quan hệ hình học và sử dụng các định lý, tính chất phù hợp. Ý c) thường là phần khó nhất, đòi hỏi sự sáng tạo và khả năng liên kết các kết quả đã chứng minh được.

4. Bài 4: Một phố nhỏ có 44 người trong độ tuổi từ 1 đến 85 (tuổi của mỗi người là một số nguyên dương). Chứng minh rằng trong số những người trên có hai người cùng tuổi hoặc có ba người mà tuổi của một người bằng tổng số tuổi của hai người kia.

   Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng bài toán về nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý chuồng bồ câu). Để giải bài toán này, cần sử dụng nguyên lý Dirichlet một cách khéo léo, xây dựng các tập hợp phù hợp và chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất một trường hợp thỏa mãn điều kiện đề bài.

Nhìn chung, đề thi chọn học sinh giỏi Toán THCS tỉnh Quảng Ninh năm 2022 – 2023 có độ khó cao, bao gồm nhiều dạng bài tập khác nhau, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải toán tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Đây là một đề thi tốt để các em học sinh rèn luyện và nâng cao trình độ môn Toán.