giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp thành phố Hồ Chí Minh năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh tổ chức. Đề thi được công bố kèm theo đáp án chi tiết, lời giải và hướng dẫn chấm điểm, được thực hiện vào ngày 14 tháng 3 năm 2023.
Đây là một đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về đại số, hình học và số học, đồng thời khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết vấn đề. Đề thi không chỉ kiểm tra khả năng tính toán mà còn đánh giá tư duy logic, khả năng phân tích và chứng minh của học sinh.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Cho phương trình x3 + mx2 – x + m – m2 = 0 (*).
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc tìm nghiệm của phương trình bậc ba và sử dụng các hệ thức Viète để giải quyết. Việc chứng minh nghiệm x = 1 – m là một bước quan trọng để đơn giản hóa bài toán. Phần b yêu cầu học sinh phải kết hợp kiến thức về nghiệm của phương trình bậc ba và các đẳng thức liên quan đến tổng bình phương của nghiệm.
Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AD; AM là đường kính của đường tròn (O); K là hình chiếu của B lên AM. Gọi E, F lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BD và CM.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về đường tròn, tam giác, đường cao, trung điểm và các tính chất liên quan. Việc chứng minh DK vuông góc AC và AEFC là tứ giác nội tiếp là những bước quan trọng để xây dựng mối liên hệ giữa các điểm và đường thẳng trong hình. Phần c là phần khó nhất của bài toán, yêu cầu học sinh phải sử dụng các kiến thức về trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và các mối quan hệ hình học để chứng minh đẳng thức HE = 2IO.
Tìm tất cả các số tự nhiên x, y và số nguyên tố p sao cho px = y4 + 64.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực số học, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về số nguyên tố, lũy thừa và các phương pháp giải phương trình Diophantine. Việc phân tích và biến đổi phương trình để tìm ra các nghiệm là một thách thức lớn. Học sinh cần phải xem xét các trường hợp khác nhau và sử dụng các tính chất của số nguyên tố để giải quyết bài toán.
Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi môn Toán. Việc giải các bài toán trong đề thi này sẽ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, nâng cao kiến thức và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi sắp tới.
