đề học sinh giỏi huyện toán 9 năm 2022 – 2023 phòng gd&đt trà ôn – vĩnh long

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 vòng huyện năm học 2022 – 2023 do Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Trà Ôn, tỉnh Vĩnh Long tổ chức. Đề thi có cấu trúc tự luận với 06 bài toán, đòi hỏi thí sinh có kiến thức nền tảng vững chắc và khả năng vận dụng linh hoạt các kỹ năng giải toán. Thời gian làm bài là 150 phút, không tính thời gian phát đề.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:

1. Bài 1: Chia hết và phương trình Diophantine
   • Chứng minh rằng 2⁷⁰ + 3⁷⁰ chia hết cho 13.
   • Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2(x + y) + 1 = 3xy.
   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về đồng dư thức và phương trình Diophantine. Việc chứng minh chia hết cho 13 có thể được thực hiện bằng cách sử dụng tính chất của đồng dư thức và lũy thừa. Phương trình Diophantine yêu cầu thí sinh phải có kỹ năng biến đổi và tìm nghiệm một cách hệ thống.
2. Bài 2: Hình học đường tròn

   Cho M bất kì trên đường tròn tâm O đường kính AB. Tiếp tuyến tại M và tại B của (O) cắt nhau tại D. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt MD tại C và cắt BD tại N.

   • a. Chứng minh rằng B, D, M, O cùng thuộc một đường tròn.
   • b. Chứng minh DC = DN.
   • c. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
   • d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB, I là trung điểm của MH. Chứng minh B, C, I thẳng hàng.
   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học đường tròn điển hình, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các tính chất của đường tròn, tiếp tuyến, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Các câu hỏi được xây dựng theo logic, từ việc chứng minh tứ giác nội tiếp đến việc chứng minh đẳng thức độ dài và tính chất tiếp tuyến. Câu d là câu khó, đòi hỏi sự kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng hình học.
3. Bài 3: Bất đẳng thức và tối ưu hóa

   Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + 2y + 3z ≥ 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + z + 3/x + 9/2y + 4/z.

   Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng bất đẳng thức, yêu cầu thí sinh phải vận dụng các kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM hoặc phương pháp đánh giá. Việc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A đòi hỏi sự khéo léo trong việc lựa chọn các biến và áp dụng các bất đẳng thức phù hợp. Điều kiện x + 2y + 3z ≥ 20 đóng vai trò quan trọng trong việc tìm ra giá trị nhỏ nhất của A.

Đánh giá chung:

Đề thi có độ khó tương đối cao, phù hợp với mục đích chọn học sinh giỏi. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao gồm các chủ đề khác nhau như số học, hình học và bất đẳng thức. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề của học sinh. Đây là một đề thi tham khảo hữu ích cho các em học sinh lớp 9 đang luyện thi học sinh giỏi.