giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp thành phố Hà Nội năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tổ chức. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 08 tháng 01 năm 2023. Điểm đặc biệt của đề thi này là được cung cấp kèm theo đáp án và lời giải chi tiết, được biên soạn bởi đội ngũ tác giả uy tín: Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Đức Hiếu và Đào Phúc Long.
Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần khả năng vận dụng linh hoạt và sáng tạo để giải quyết các bài toán. Dưới đây là trích dẫn nội dung chính của đề thi:
Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn a + b + c = 16. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (a + b)/c + (b + c)/a + (c + a)/b.
Nhận xét: Đây là một bài toán đại số, yêu cầu học sinh phải có kỹ năng biến đổi biểu thức, sử dụng các bất đẳng thức và kỹ năng xét tính chất của số nguyên dương. Bài toán này kiểm tra khả năng tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm S. Trên tia đối của tia CA lấy điểm M (M khác C). Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với OM, cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt E, F (E nằm giữa S và F).
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về đường tròn, tiếp tuyến, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Yêu cầu học sinh phải có khả năng vẽ hình chính xác, sử dụng các tính chất hình học để chứng minh và giải quyết bài toán. Phần c của bài toán đòi hỏi sự kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng, đặc biệt là về đường tròn ngoại tiếp và các tính chất liên quan.
Cho đa giác đều A1A2…A2023. Gọi S là tập hợp gồm các trung điểm của các đoạn thẳng AiAj (1 ≤ i < j ≤ 2023) và M là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm thuộc S. Gọi N là tổng độ dài của tất cả các đoạn thẳng AiAj (1 ≤ i < j ≤ 2023). Chứng minh M < 10112N.
Nhận xét: Đây là một bài toán kết hợp kiến thức về tổ hợp và bất đẳng thức. Bài toán này đòi hỏi học sinh phải có khả năng tính toán, ước lượng và sử dụng các bất đẳng thức để chứng minh. Việc tìm ra mối liên hệ giữa M và N là một thách thức lớn đối với học sinh.
Việc có được đáp án và lời giải chi tiết do các tác giả uy tín biên soạn sẽ giúp học sinh và giáo viên có thể hiểu rõ hơn về phương pháp giải quyết từng bài toán, từ đó nâng cao kỹ năng và kiến thức. Đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho việc ôn tập và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.
