giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 7 đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 7 năm học 2023 – 2024 do Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Hậu Lộc, tỉnh Thanh Hóa tổ chức vào ngày 02 tháng 03 năm 2024. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho việc ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp huyện, tỉnh, cũng như rèn luyện kỹ năng giải toán nâng cao.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Cho các số nguyên dương m, n và p là số nguyên tố thỏa mãn: p/(m – 1) = (m + n)/p. Chứng minh rằng: p2 = n + 2.
Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh có kiến thức vững chắc về số nguyên tố, các phép biến đổi đại số và kỹ năng giải phương trình. Điểm mấu chốt của bài toán là biến đổi phương trình đã cho để đưa về mối liên hệ giữa p, m và n, sau đó sử dụng tính chất của số nguyên tố để chứng minh.
Biết f(x) chia cho x – 3 thì dư 7; chia cho x – 2 thì dư 5; chia cho (x – 3).(x – 2) được thương là 3x và còn dư. Tìm f(x).
Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng bài toán về phép chia đa thức có dư. Học sinh cần nắm vững định lý Bezout và cách xây dựng đa thức f(x) dựa trên thông tin về số dư và thương khi chia cho các đa thức khác nhau. Đây là một bài toán điển hình để kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết vấn đề thực tế.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = BD; DK cắt BC tại I. Hạ DP, KQ vuông góc với BC lần lượt tại P và Q.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phức tạp, đòi hỏi học sinh có khả năng phân tích hình, sử dụng linh hoạt các định lý và tính chất hình học (tam giác vuông cân, trung điểm, đường thẳng vuông góc, bất đẳng thức). Việc chứng minh các mối quan hệ bằng nhau, vuông góc và bất đẳng thức đòi hỏi sự suy luận logic và trình bày chặt chẽ. Phần c của bài toán có thể được giải quyết bằng cách sử dụng bất đẳng thức tam giác hoặc các phương pháp hình học khác.
Đánh giá chung: Đề thi có độ khó tương đối cao, phù hợp với mục đích khảo sát học sinh giỏi. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao gồm cả số học, đại số và hình học, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc và kỹ năng giải toán tốt. Đề thi này là một công cụ hữu ích để đánh giá năng lực và định hướng ôn luyện cho học sinh có đam mê với môn Toán.
