đề học sinh giỏi toán 8 năm 2021 – 2022 phòng gd&đt diễn châu – nghệ an

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 8 đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 8 năm học 2021 – 2022 do Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Diễn Châu, tỉnh Nghệ An tổ chức. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán hình học và số học nâng cao, đồng thời làm quen với cấu trúc đề thi học sinh giỏi.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Hình học

   Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BH, CH. Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại F. Gọi O là giao điểm của AH và DE.

   • a) Chứng minh rằng: AH² = giaibaitoan.com và giaibaitoan.com = giaibaitoan.com
   • b) Giả sử BC cố định, A di động nhưng vẫn thỏa mãn ∠BAC = 90°. Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua O và vuông góc với AF luôn đi qua 1 điểm cố định.
   • c) Chứng minh rằng trực tâm của tam giác AMN là trung điểm của OH.

   Nhận xét và phân tích: Bài toán này tập trung vào kiến thức về tam giác vuông, đường cao trong tam giác vuông, hệ thức lượng và các tính chất liên quan đến trung điểm. Câu a là những hệ thức lượng cơ bản cần nắm vững. Câu b đòi hỏi sự linh hoạt trong việc sử dụng các tính chất hình học và khả năng biến đổi đại số để tìm ra điểm cố định. Câu c là một bài toán nâng cao, yêu cầu học sinh có tư duy logic và khả năng kết hợp các kiến thức đã học để giải quyết.

2. Bài 2: Số học

   Chứng minh rằng, trong 29 số nguyên dương khác nhau nhỏ hơn 100 ta luôn chọn được 2 số có ước chung lớn nhất khác 1.

   Nhận xét và phân tích: Bài toán này sử dụng nguyên lý Dirichlet (còn gọi là hộp Dirichlet) để chứng minh. Ý tưởng chính là chia các số nguyên dương nhỏ hơn 100 thành các nhóm dựa trên các ước số nguyên tố của chúng. Do số lượng số nguyên dương lớn hơn số lượng nhóm, nên chắc chắn sẽ có ít nhất một nhóm chứa hai số, và hai số này sẽ có ước chung lớn nhất khác 1.

3. Bài 3: Số học

   Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a³ + b³ = 5c³ + 11d³. Chứng minh rằng: a + b + c + d chia hết cho 6.

   Nhận xét và phân tích: Bài toán này đòi hỏi học sinh phải sử dụng các tính chất chia hết, đồng dư thức và các phép biến đổi đại số để chứng minh. Việc xét các trường hợp khác nhau của a, b, c, d theo modulo 2 và modulo 3 có thể giúp đơn giản hóa bài toán và tìm ra kết quả.

Đề thi này có độ khó tương đối cao, phù hợp với học sinh có năng lực Toán tốt và có mong muốn thử thách bản thân. Việc giải chi tiết đề thi này sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.