giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 8 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 8 năm học 2022 – 2023 do Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Quỳnh Phụ, tỉnh Thái Bình tổ chức. Đây là một đề thi có cấu trúc khá điển hình cho các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, tỉnh, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết bài toán linh hoạt.
Dưới đây là chi tiết các bài toán trong đề thi:
Bài toán yêu cầu xác định đa thức P(x) dựa trên các thông tin về số dư khi chia cho các đa thức khác nhau. Cụ thể, P(x) chia cho x + 1 dư 4, chia cho x + 2 dư 6, và chia cho x2 + 3x + 2 (tương đương với (x+1)(x+2)) được thương là x + 3 và còn dư. Đây là một bài toán kết hợp kiến thức về định lý Bezout và phép chia đa thức. Học sinh cần hiểu rõ cách sử dụng định lý Bezout để tìm mối liên hệ giữa giá trị của đa thức tại một điểm và số dư khi chia cho đa thức tương ứng. Việc chia cho đa thức bậc hai đòi hỏi học sinh phải biểu diễn số dư dưới dạng ax + b.
Phần sau của bài toán là một bài toán tối ưu hóa với điều kiện ràng buộc. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 1/a + 1/4b + 1/16c. Đây là một ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc phương pháp hệ số bất định. Việc lựa chọn hệ số phù hợp trong phương pháp hệ số bất định là một kỹ năng quan trọng để giải quyết bài toán này.
Bài toán này tập trung vào kiến thức về tam giác vuông, đường cao, và các tính chất của hình bình hành. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm M sao cho HM = AH. Vẽ hình bình hành AHMN, MN cắt AC tại E. Vẽ hình bình hành BAED. Yêu cầu chứng minh: a. AB = AE; b. Ba đường thẳng AD, BE, HN đồng quy và DM // HN.
Phần a yêu cầu chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, thường dựa trên việc chứng minh hai tam giác bằng nhau hoặc sử dụng các tính chất của hình bình hành. Phần b là một bài toán về sự đồng quy của ba đường thẳng, thường được giải quyết bằng định lý Ceva hoặc định lý Menelaus. Việc chứng minh DM // HN có thể liên quan đến việc sử dụng tính chất của hình bình hành và các góc so le trong.
Bài toán này liên quan đến tam giác ABC có góc ABC = 120°, các đường phân giác BD, AE, CF. Yêu cầu: a. Chứng minh rằng: 1/BD = 1/BA + 1/BC; b. Tính góc EDF (với D, E, F là giao điểm của các đường phân giác).
Phần a là một bài toán về đường phân giác và tỉ lệ thức. Học sinh cần sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác và các hệ thức lượng giác để chứng minh đẳng thức. Phần b yêu cầu tính góc EDF, thường được giải quyết bằng cách sử dụng các tính chất của góc trong tam giác và các góc liên quan đến đường phân giác.
Đánh giá chung:
Đề thi có độ khó tương đối cao, phù hợp với mục tiêu chọn học sinh giỏi. Các bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức sâu rộng, kỹ năng biến đổi linh hoạt, và khả năng áp dụng các định lý, công thức một cách sáng tạo. Đề thi bao gồm cả kiến thức về đại số (đa thức, tối ưu hóa) và hình học (tam giác vuông, hình bình hành, đường phân giác), giúp đánh giá toàn diện năng lực của học sinh. Việc giải quyết thành công đề thi này đòi hỏi học sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng và luyện tập thường xuyên.
