giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề kiểm tra đánh giá năng lực môn Toán năm học 2022 – 2023 của trường THPT chuyên KHTN, Đại học Khoa học Tự nhiên, Hà Nội (Vòng 1 – Đợt 1). Kỳ thi được tổ chức vào ngày 18 tháng 02 năm 2023, là một bài kiểm tra có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt.
Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:
Với a, b, c > 0 thỏa mãn 2 + a + b + c = abc, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = (a³ + b³ + c³)/(ab + bc + ca).
Nhận xét: Đây là một bài toán đại số điển hình, yêu cầu học sinh vận dụng các bất đẳng thức và kỹ năng biến đổi đại số. Để giải quyết bài toán này, cần sử dụng một số kỹ thuật như bất đẳng thức Schur, bất đẳng thức AM-GM hoặc phương pháp đánh giá trực tiếp. Bài toán này đòi hỏi sự nhạy bén trong việc lựa chọn phương pháp phù hợp.
Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC. Phân giác góc BAC cắt BC tại D. Trên trung trực AD lấy điểm K sao cho KD vuông góc BC. 1) Chứng minh rằng KAB = 90° – ACB. 2) Gọi J là hình chiếu vuông góc của D lên KB. Chứng minh rằng tứ giác AJDC nội tiếp. 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC cắt KC tại L khác C. Chứng minh rằng DL vuông góc KC.
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về tam giác, đường phân giác, trung trực, và các tính chất của đường tròn. Để giải quyết bài toán, học sinh cần kết hợp các kiến thức hình học cơ bản, sử dụng các định lý về góc, tam giác đồng dạng, và các tính chất của tứ giác nội tiếp. Độ khó của bài toán nằm ở việc tìm ra các mối liên hệ giữa các yếu tố hình học và chứng minh các đẳng thức góc, tứ giác nội tiếp.
Hình chữ nhật ABCD có chiều dài các cạnh AB = DC = 4cm, AD = CB = 5cm. Cho 9 điểm phân biệt đôi một bên trong hình chữ nhật. Chứng minh rằng có tồn tại một tam giác có 3 đỉnh thuộc tập M gồm 4 đỉnh A, B, C, D và 9 điểm trong phân biệt, có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng 1 cm2.
Nhận xét: Đây là một bài toán kết hợp giữa tổ hợp và hình học, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích. Để giải quyết bài toán này, có thể sử dụng nguyên lý Dirichlet (còn gọi là hộp) để chứng minh sự tồn tại của một tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài. Bài toán này kiểm tra khả năng ứng dụng kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề thực tế.
Đánh giá chung: Đề thi Toán 9 trường chuyên KHTN – Hà Nội (Vòng 1 – Đợt 1) năm 2023 có cấu trúc rõ ràng, bao gồm các bài toán đại số, hình học và tổ hợp. Các bài toán có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và tư duy sáng tạo. Đề thi này là một công cụ hữu ích để đánh giá năng lực của học sinh và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi.
