đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi toán năm 2021 sở gd&đt lâm đồng

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán tỉnh Lâm Đồng năm 2021: Đánh giá và Phân tích

Ngày 11 tháng 09 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lâm Đồng đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh vào đội tuyển bồi dưỡng thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 – 2021. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo.

Đề thi có cấu trúc gồm 05 bài toán tự luận, được trình bày trên 01 trang giấy, với thời gian làm bài là 180 phút. Dưới đây là nội dung chi tiết của từng bài toán:

1. Bài 1: Hình học phẳng

Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là hình chiếu của A lên BC và D, E, M lần lượt là trung điểm HB, HC, BC. Đường tròn (ABE) tâm I cắt AC tại S và đường tròn (ACD) tâm J cắt AB tại R.

• a) Chứng minh rằng BC = 4IJ.
• b) Trung tuyến đỉnh H của tam giác AHM cắt RS tại T, chứng minh rằng các đường thẳng AT, BS, CR đồng quy.

Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính chất đường trung bình và định lý Ceva. Điểm khó của bài toán nằm ở việc tìm ra mối liên hệ giữa các điểm I, J và chứng minh sự đồng quy của các đường thẳng. Yêu cầu thí sinh phải có khả năng vẽ hình chính xác và vận dụng linh hoạt các định lý hình học.

2. Bài 2: Đại số

Cho số a = 2019.2020.2021 và số nguyên dương n ≥ 3. Người ta xếp n số nguyên dương nào đó lên một đường tròn thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1. (i) Hai số nằm cạnh nhau có tích không chia hết cho a.
2. (ii) Hai số không nằm cạnh nhau có tích chia hết cho a.
• a) Tìm một bộ các số nguyên dương thỏa mãn cách xếp trên.
• b) Tìm giá trị lớn nhất của n.

Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về lý thuyết số, đặc biệt là tính chia hết và ước số. Việc tìm ra một bộ số thỏa mãn điều kiện (i) và (ii) là bước đầu tiên, sau đó cần phân tích để tìm ra giới hạn của n. Bài toán này có tính chất khám phá cao, khuyến khích thí sinh thử nghiệm và đưa ra các giả thuyết.

3. Bài 3: Tổ hợp

Cho tập S = {1; 2; …; n} với n là số nguyên dương. Gọi An là tập hợp các hoán vị (a1; a2; …; an) của tập S thỏa mãn điều kiện 2(a1 + a2 + … + ak) chia hết cho k với mọi k = 1; 2; …; n.

• a) Chứng minh rằng an – 1 chia hết cho n – 1 khi n chẵn và n > 3.
• b) Tìm số phần tử của A2020.

Nhận xét: Bài toán này thuộc lĩnh vực tổ hợp, yêu cầu thí sinh phải hiểu rõ về hoán vị và các tính chất của nó. Điều kiện chia hết trong bài toán là một yếu tố quan trọng, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân tích và suy luận logic. Phần b của bài toán có thể đòi hỏi kiến thức về số học và các kỹ thuật đếm.

Đánh giá chung:

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2021 của tỉnh Lâm Đồng có độ khó tương đối cao, phân loại rõ ràng học sinh có năng lực và đam mê với môn Toán. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao gồm cả hình học, đại số và tổ hợp, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Đề thi này là một cơ hội tốt để học sinh rèn luyện và nâng cao khả năng tư duy toán học.