giaibaitoan.com xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2023 – 2024. Kỳ thi đã chính thức diễn ra vào ngày 05/01/2024 và 06/01/2024. Điểm đặc biệt của bộ đề này là đi kèm với đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ tối đa cho quá trình ôn luyện và nghiên cứu.
Bộ đề thi năm nay tiếp tục khẳng định xu hướng ra đề của kỳ thi HSG Quốc gia: đòi hỏi thí sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần khả năng tư duy logic, sáng tạo và vận dụng linh hoạt các công cụ toán học để giải quyết vấn đề.
Dưới đây là trích dẫn nội dung chính của đề thi:
Cho tam giác ABC nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi A0 là tâm của đường tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại A, B0 là tâm của đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại B, C0 là tâm của đường tròn đi qua B và tiếp xúc với CA tại C.
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về đường tròn, tâm đường tròn, và các tính chất liên quan đến hình chiếu. Phần a yêu cầu thí sinh chứng minh một bất đẳng thức diện tích, đòi hỏi sự khéo léo trong việc sử dụng các công thức và đánh giá. Phần b là một bài toán hình học không gian phẳng nâng cao, đòi hỏi khả năng xây dựng hình phụ và vận dụng định lý Ceva hoặc Menelaus một cách thông minh.
Người ta xếp k viên bi vào các ô của một bảng 2024 × 2024 ô vuông sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi ô không có quá một viên bi và không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau (hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh).
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực tổ hợp, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng tìm kiếm các cấu hình đặc biệt. Phần a yêu cầu thí sinh tìm một cách xếp cụ thể, trong khi phần b đòi hỏi phải chứng minh tính chất tổng quát. Bài toán này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các kỹ thuật đếm và phân tích cấu trúc của bảng ô vuông.
Trong không gian, cho đa diện lồi D sao cho tại mỗi đỉnh của D có đúng một số chẵn các cạnh chứa đỉnh đó. Chọn ra một mặt F của D. Giả sử ta gán cho mỗi cạnh của D một số nguyên dương sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: với mỗi mặt (khác mặt F) của D, tổng các số được gán với các cạnh của mặt đó là một số nguyên dương chia hết cho 2024. Chứng minh rằng tổng các số được gán với các cạnh của mặt F cũng là một số nguyên dương chia hết cho 2024.
Nhận xét: Đây là một bài toán số học khá trừu tượng, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về lý thuyết đồ thị và các tính chất liên quan đến chia hết. Bài toán này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các tính chất của đa diện lồi và áp dụng các định lý về số học modular.
Kết luận: Bộ đề thi HSG Quốc gia môn Toán THPT năm học 2023 – 2024 là một thử thách lớn đối với các thí sinh. Việc nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề và tư duy sáng tạo là những yếu tố then chốt để đạt được thành công trong kỳ thi này. giaibaitoan.com hy vọng rằng bộ đề này sẽ là tài liệu hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới.
