giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi Toán cấp tỉnh năm học 2022 – 2023 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Trị. Kỳ thi chính thức được tổ chức vào ngày 15 tháng 3 năm 2023. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Cho a, b, c là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau, có ít nhất một phương trình có nghiệm: x² – 2ax + bc + 1 = 0, x² – 2bx + ca + 1 = 0, x² – 2cx + ab + 1 = 0.
Nhận xét: Đây là một bài toán đại số đòi hỏi thí sinh phải vận dụng kiến thức về nghiệm của phương trình bậc hai và sử dụng các kỹ năng biến đổi đại số một cách khéo léo. Việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai thông qua delta là một hướng tiếp cận phù hợp.
Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 2x² − y² = 1. Chứng minh xy(x² − y²) chia hết cho 40.
Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về phương trình Diophantine và tính chia hết. Để giải quyết bài toán, cần phân tích cấu trúc của phương trình 2x² − y² = 1 và sử dụng các tính chất của số chia hết để chứng minh biểu thức xy(x² − y²) chia hết cho 40.
Một giải cầu lông có n (n ≥ 2) vận động viên tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (hai vận động viên bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận, không có kết quả hòa). Chứng minh rằng tổng các bình phương số trận thắng và tổng các bình phương số trận thua của các vận động viên là bằng nhau.
Nhận xét: Bài toán này thuộc lĩnh vực tổ hợp, đòi hỏi thí sinh phải hiểu rõ về thể thức thi đấu vòng tròn và sử dụng các kỹ năng đếm. Việc thiết lập mối quan hệ giữa số trận thắng và số trận thua của các vận động viên là chìa khóa để giải quyết bài toán.
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), AD là đường cao (D thuộc BC). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên AC và AB.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Đường tròn đường kính AD cắt (O) tại điểm thứ hai là M (M khác A). Chứng minh MD là phân giác của góc FMC.
c) Chứng minh đường thẳng MD, đường trung trực của BC và đường trung trực của EF đồng quy.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về các tính chất của đường tròn, tam giác vuông, và các điểm đặc biệt trong tam giác. Việc sử dụng các tính chất về góc nội tiếp, góc tạo bởi đường cao và các đường trung trực là rất quan trọng để giải quyết bài toán. Ý c) thường là phần khó nhất, đòi hỏi thí sinh phải vận dụng định lý Ceva hoặc Menelaus một cách linh hoạt.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 tỉnh Quảng Trị năm 2022 – 2023 là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi. Việc giải chi tiết đề thi này sẽ giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và làm quen với cấu trúc đề thi học sinh giỏi.
