Chào mừng các em học sinh lớp 10 đến với đề thi giữa kì 2 môn Toán chương trình Chân trời sáng tạo - Đề số 1. Đề thi này được thiết kế để giúp các em ôn luyện và đánh giá kiến thức đã học trong giai đoạn giữa kì 2.
Giaibaitoan.com cung cấp đề thi chính xác, bám sát chương trình học và đáp án chi tiết, giúp các em tự tin làm bài và đạt kết quả tốt nhất.
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?
Phần trắc nghiệm (7 điểm)
Câu 1: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?
A. \(0{x^2} + 5x - 3\).
B. \(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + 1\).
C. \(7x - {x^2} + 5\).
D. \({\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2}\).
Câu 2: Chọn từ thích hợp để điền vào chỗ (.).
Nếu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thì \(f(x) \ldots \ldots ..(1) \ldots ...\) với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và \(f(x)\).(2). với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)\).
A. (1) trái dấu - (2) cùng dấu.
B. (1) trái dấu - (2) trái dấu.
C. (1) cùng dấu - (2) trái dấu.
D. (1) cùng dấu - (2) cùng dấu.
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 2x + 3 > 0\) là:
A. \(\emptyset \).
B. \(\mathbb{R}\).
C. \(( - \infty ; - 1) \cup (3; + \infty )\).
D. \(( - 1;3)\).
Câu 4: Tam thức bậc hai \( - {x^2} + 7x - 12\) nhận giá trị dương khi nào?
A. \(x \in (3;4)\).
B. \(x \in [3;4]\).
C. \(x \in ( - \infty ;3) \cup (4; + \infty )\).
D. \(x \in ( - \infty ;3] \cup [4; + \infty )\).
Câu 5: Cô Mai có \(60\;m\) lưới muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau. Biết rằng một cạnh là tường (nên không cần rào), cô Mai chỉ cần rào ba cạnh còn lại của hình chữ nhật để làm vườn. Để diện tích mảnh vườn không ít hơn \(400\;{m^2}\) thì chiều rộng của vườn cần có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
A. \(20\;m\).
B. \(15\;m\).
C. \(10\;m\).
D. \(9\;m\).
Câu 6: Nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 9x + 20 > 0\) là:
A. \(x \in [4;5]\).
B. \(x \in (4;5)\).
C. \(x \in ( - \infty ;4] \cup [5; + \infty )\).
D. \(x \in ( - \infty ;4) \cup (5; + \infty )\).
Câu 7: Tập ngiệm của bất phương trình: \( - {x^2} + 6x + 7 \ge 0\) là:
A. \(( - \infty ; - 1] \cup [7; + \infty )\).
B. \([ - 1;7]\).
C. \(( - \infty ; - 7] \cup [1; + \infty )\).
D. \([ - 7;1]\).
Câu 8: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x + 3)(4 - x) > 0}\\{x - m + 1 < 0}\end{array}} \right.\) vô nghiệm khi và chỉ khi:
A. \(m \le - 2\).
B. \(m > - 2\).
C. \(m < - 1\).
D. \(m = 0\).
Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 \le 0}\\{x - m > 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm khi:
A. \(m > 1\).
B. \(m = 1\).
C. \(m < 1\).
D. \(m \ne 1\).
Câu 10: Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - bx + 3\). Với giá trị nào của \(b\) thì \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt?
A. \(b \in [ - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 ]\).
B. \(b \in ( - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 )\).
C. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ] \cup [2\sqrt 3 ; + \infty )\).
D. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ) \cup (2\sqrt 3 ; + \infty )\).
Câu 11: Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình bậc hai \({x^2} + 2(m + 1)x + 3m = 0\) có nghiệm là
A. \(\{ 0\} \)
B. \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).
C. \(\mathbb{R}\).
D. \(\emptyset \).
Câu 12: Phương trình \(m{x^2} - mx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi:
A. \(m \le 0\) hoặc \(m \ge 8\).
C. \(0 < m \le 8\).
B. \(m < 0\) hoặc \(m \ge 8\).
D. \(0 \le m \le 8\).
Câu 13: Giá trị \(x = 2\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. \(\sqrt {{x^2} - x - 4} = \sqrt {x - 4} \).
B. \(x - 1 = \sqrt {x - 3} \).
C. \(x + 2 = 2\sqrt {3x - 2} \).
D. \(x + 2 = \sqrt {x - 1} \).
Câu 14: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x - 3} = \sqrt {2{x^2} + x - 3} \) là:
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
Câu 15: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 1} = x - 1\) là:
A. \(S = \{ 1\} \).
B. \(S = \{ 2\} \).
C. \(S = \{ 0\} \).
D. \(S = \emptyset \).
Câu 16: Cho phương trình \(\sqrt {{x^2} - mx + {m^2}} = x - m\) (với \(m\) là tham số). Giá trị của \(m\) đê phương trình nhận \(x = 2\) làm nghiệm là:
A. \(m = 2\).
B. \(m = 3\).
C. \(m = 0\).
D. \(m = 1\).
Câu 17: Phương trình \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}} = {x^2} - 6x\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
Câu 18: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 7} - \sqrt {x + 1} = 2\) là
A. 2.
B. \( - 1\).
C. \( - 2\).
D. 4.
Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), toạ độ của vectơ \(2\vec i - 7\vec j\) là:
A. \((2;7)\).
B. \(( - 2;7)\).
C. \((2; - 7)\).
D. \(( - 7;2)\).
Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(3; - 2)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là:
A. \((3; - 2)\).
B. \(( - 3;2)\).
C. \(( - 2;3)\).
D. \((2; - 3)\).
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A( - 3;2),B(5; - 1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:
A. \((2;1)\).
B. \((8; - 3)\).
C. \(( - 8;3)\).
D. \(( - 2; - 1)\).
Câu 22: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Câu 23: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta :y = 2x + 1\) là:
A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (2; - 1)\).
B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1; - 1)\).
C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 2; - 1)\).
D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1;1)\).
Câu 24: Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} (12; - 13)\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \)?
A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 13;12)\).
B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (12;13)\).
C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (13;12)\).
D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 12; - 13)\).
Câu 25: Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là:
A. \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\).
B. \(b\left( {x - {x_0}} \right) - a\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).
C. \(a\left( {x + {x_0}} \right) + b\left( {y + {y_0}} \right) = 0\).
D. \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).
Câu 26: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(11; - 12)\) là:
A. \(5x + 4y + 7 = 0\).
B. \(5x + 4y - 7 = 0\).
C. \(11x - 12y - 7 = 0\).
D. \(11x - 12y + 7 = 0\).
Câu 27: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) là:
A. \(x - 2y + 3 = 0\).
B. \(2x + y - 14 = 0\).
C. \(x + 2y - 13 = 0\).
D. \(2x + y = 0\).
Câu 28: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).
Câu 29: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\), \({\Delta _2}:3x - y + 7 = 0\). Nhận định nào sau đây là đúng?
A. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
B. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.
C. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.
D. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
Câu 30: Người ta quy ước góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau là:
A. \({180^0}\).
B. \({120^0}\).
C. \({90^0}\).
D. \({0^0}\).
Câu 31: Cho \(\alpha \) là góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:3x + y - 14 = 0\). Giá trị của cosa là:
A. \(\frac{{ - 3}}{{130}}\).
B. \(\frac{3}{{\sqrt {130} }}\).
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{130}}\).
D. \(\frac{{ - 3}}{{\sqrt {130} }}\).
Câu 32: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 4y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 1 = 0\) là:
A. \({0^0}\).
B. \({45^0}\).
C. \({60^0}\).
D. \({90^0}\).
Câu 33: Cho đường tròn \((C):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 25\). Đường tròn \((C)\) có:
A. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 25\).
B. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 25\).
C. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 5\).
D. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 5\).
Câu 34: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\). Đường tròn \((C)\) có:
A. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = 11\).
B. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).
C. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = 11\).
D. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).
Câu 35: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?
A. \({x^2} - {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\).
B. \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 8 = 0\).
C. \({x^2} + {y^2} + 6x - 10y + 45 = 0\).
D. \({x^2} + {y^2} + 4x - 8y + 13 = 0\)
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} \)
Bài 2. Tìm \(m\) để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi \(x\):
a) \(3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4 > 0\)
b) \(m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0\)
Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (2;0),\vec b = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right),\vec c = (4; - 6)\).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c\).
b) Biểu diễn vectơ \(\vec c\) theo cặp vectơ không cùng phương \(\vec a,\vec b\).
Bài 4. Cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\).
a) Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác.
b) Viết phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác.
-------- Hết --------
Phần trắc nghiệm
Câu 1. C | Câu 2. C | Câu 3. B | Câu 4. A | Câu 5. C | Câu 6. D | Câu 7. B |
Câu 8. A | Câu 9. C | Câu 10. D | Câu 11. C | Câu 12. B | Câu 13. C | Câu 14. A |
Câu 15. D | Câu 16. C | Câu 17. D | Câu 18. A | Câu 19. C | Câu 20. A | Câu 21. B |
Câu 22. D | Câu 23. A | Câu 24. C | Câu 25. D | Câu 26. C | Câu 27. B | Câu 28. D |
Câu 29. D | Câu 30. D | Câu 31. B | Câu 32. B | Câu 33. C | Câu 34. B | Câu 35. D |
Câu 1: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?
A. \(0{x^2} + 5x - 3\).
B. \(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + 1\).
C. \(7x - {x^2} + 5\).
D. \({\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2}\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 2: Chọn từ thích hợp để điền vào chỗ (.).
Nếu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thì \(f(x) \ldots \ldots ..(1) \ldots ...\) với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và \(f(x)\).(2). với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)\).
A. (1) trái dấu - (2) cùng dấu.
B. (1) trái dấu - (2) trái dấu.
C. (1) cùng dấu - (2) trái dấu.
D. (1) cùng dấu - (2) cùng dấu.
Lời giải
Đáp án C.
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 2x + 3 > 0\) là:
A. \(\emptyset \).
B. \(\mathbb{R}\).
C. \(( - \infty ; - 1) \cup (3; + \infty )\).
D. \(( - 1;3)\).
Lời giải
Ta có: \({x^2} - 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Đáp án B.
Câu 4: Tam thức bậc hai \( - {x^2} + 7x - 12\) nhận giá trị dương khi nào?
A. \(x \in (3;4)\).
B. \(x \in [3;4]\).
C. \(x \in ( - \infty ;3) \cup (4; + \infty )\).
D. \(x \in ( - \infty ;3] \cup [4; + \infty )\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 5: Cô Mai có \(60\;m\) lưới muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau. Biết rằng một cạnh là tường (nên không cần rào), cô Mai chỉ cần rào ba cạnh còn lại của hình chữ nhật để làm vườn. Để diện tích mảnh vườn không ít hơn \(400\;{m^2}\) thì chiều rộng của vườn cần có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
A. \(20\;m\).
B. \(15\;m\).
C. \(10\;m\).
D. \(9\;m\).
Lời giải
Gọi \(x,y(0 < x,y < 60)\) lần lượt là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật.
Ta có \(2x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2x\).
Diện tích hình chữ nhật là \(S = xy = x(60 - 2x)\).
Ta xét bất phương trình \(x(60 - 2x) \ge 400 \Leftrightarrow 10 \le x \le 20\).
Vậy giá trị tối thiểu của chiều rộng là \(10\;m\).
Đáp án C.
Câu 6: Nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 9x + 20 > 0\) là:
A. \(x \in [4;5]\).
B. \(x \in (4;5)\).
C. \(x \in ( - \infty ;4] \cup [5; + \infty )\).
D. \(x \in ( - \infty ;4) \cup (5; + \infty )\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 7: Tập ngiệm của bất phương trình: \( - {x^2} + 6x + 7 \ge 0\) là:
A. \(( - \infty ; - 1] \cup [7; + \infty )\).
B. \([ - 1;7]\).
C. \(( - \infty ; - 7] \cup [1; + \infty )\).
D. \([ - 7;1]\).
Lời giải
Xét \( - {x^2} + 6x + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 1\\x = 7\end{array}\end{array}} \right.{\rm{. }}\)
Bảng xét dấu:
Ta có \(: - {x^2} + 6x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [ - 1;7]\).
Đáp án B.
Câu 8: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x + 3)(4 - x) > 0}\\{x - m + 1 < 0}\end{array}} \right.\) vô nghiệm khi và chỉ khi:
A. \(m \le - 2\).
B. \(m > - 2\).
C. \(m < - 1\).
D. \(m = 0\).
Lời giải
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x + 3)(4 - x) > 0}\\{x - m + 1 < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 < x < 4}\\{x < m - 1}\end{array}} \right.\left( * \right)\).
Hệ \(\left( * \right)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow m - 1 \le - 3 \Leftrightarrow m \le - 2\).
Đáp án A.
Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 \le 0}\\{x - m > 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm khi:
A. \(m > 1\).
B. \(m = 1\).
C. \(m < 1\).
D. \(m \ne 1\).
Lời giải
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 \le 0}\\{x - m > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 \le x \le 1}\\{x > m}\end{array}\quad (*)} \right.} \right.\)
Do đó hệ \(\left( * \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(m < 1\).
Đáp án C.
Câu 10: Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - bx + 3\). Với giá trị nào của \(b\) thì \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt?
A. \(b \in [ - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 ]\).
B. \(b \in ( - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 )\).
C. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ] \cup [2\sqrt 3 ; + \infty )\).
D. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ) \cup (2\sqrt 3 ; + \infty )\).
Lời giải
\(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta = {b^2} - 12 > 0\). Xét \(\Delta = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = - 2\sqrt 3 }\\{b = 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.\).
Bảng xét dấu:
Ta có: \(\Delta = {b^2} - 12 > 0 \Leftrightarrow b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ) \cup (2\sqrt 3 ; + \infty )\).
Đáp án D.
Câu 11: Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình bậc hai \({x^2} + 2(m + 1)x + 3m = 0\) có nghiệm là
A. \(\{ 0\} \)
B. \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).
C. \(\mathbb{R}\).
D. \(\emptyset \).
Lời giải
Phương trình \({x^2} + 2(m + 1)x + 3m = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta ^\prime } \ge 0\) \( \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - 3m \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - m + 1 \ge 0\).
Xét \(f(m) = {m^2} - m + 1\) có \({\Delta _f} = 1 - 4 = - 3 < 0\) nên \(f(m)\) luôn dương (do cùng dấu \(\left. {{a_f} = 1} \right)\).
Vậy \({m^2} - m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \in \mathbb{R}\).
Đáp án C.
Câu 12: Phương trình \(m{x^2} - mx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi:
A. \(m \le 0\) hoặc \(m \ge 8\).
C. \(0 < m \le 8\).
B. \(m < 0\) hoặc \(m \ge 8\).
D. \(0 \le m \le 8\).
Lời giải
Trường hợp 1: \(m = 0\). Thay vào phương trình: \(2 = 0\) (vô nghiệm). Vì vậy \(m = 0\)
không thỏa mãn.
Trường hợp 2: \(m \ne 0\).
Phương trình có nghiệm khi \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {( - m)^2} - 8m \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m \ge 0\).
Xét \(f(m) = {m^2} - 8m;f(m) = 0 \Leftrightarrow m = 0 \vee m = 8\).
Bảng xét dấu:
Ta có: \(f(m) = {m^2} - 8m \ge 0 \Leftrightarrow m \in ( - \infty ;0) \cup (8; + \infty )\).
So với điều kiện, ta có \(m < 0\) hoặc \(m \ge 8\) thỏa mãn đề bài.
Đáp án B.
Câu 13: Giá trị \(x = 2\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. \(\sqrt {{x^2} - x - 4} = \sqrt {x - 4} \).
B. \(x - 1 = \sqrt {x - 3} \).
C. \(x + 2 = 2\sqrt {3x - 2} \).
D. \(x + 2 = \sqrt {x - 1} \).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 14: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x - 3} = \sqrt {2{x^2} + x - 3} \) là:
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
Lời giải
Đáp án A.
Câu 15: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 1} = x - 1\) là:
A. \(S = \{ 1\} \).
B. \(S = \{ 2\} \).
C. \(S = \{ 0\} \).
D. \(S = \emptyset \).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 16: Cho phương trình \(\sqrt {{x^2} - mx + {m^2}} = x - m\) (với \(m\) là tham số). Giá trị của \(m\) đê phương trình nhận \(x = 2\) làm nghiệm là:
A. \(m = 2\).
B. \(m = 3\).
C. \(m = 0\).
D. \(m = 1\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 17: Phương trình \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}} = {x^2} - 6x\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
Lời giải
Điều kiện: \(17 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - \sqrt {17} \le x \le \sqrt {17} \).
Ta có: \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}} = {x^2} - 6x \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 6x} \right)\left( {\sqrt {17 - {x^2}} - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x^2} - 6x = 0\\\sqrt {17 - {x^2}} = 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x(x - 6) = 0\\16 - {x^2} = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 0 & (T)\\x = 6 & (L)\\x = \pm 4 & (T)\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Vậy phương trình có 3 thực phân biệt.
Đáp án D.
Câu 18: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 7} - \sqrt {x + 1} = 2\) là
A. 2.
B. \( - 1\).
C. \( - 2\).
D. 4.
Lời giải
\(\sqrt {3x + 7} - \sqrt {x + 1} = 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 1}\\{\sqrt {3x + 7} = 2 + \sqrt {x + 1} }\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge - 1\\3x + 7 = 4 + x + 1 + 4\sqrt {x + 1} \end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge - 1\\x + 1 = 2\sqrt {x + 1} \end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array}\end{array}.} \right.} \right.} \right.} \right.\)
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2.
Đáp án A.
Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), toạ độ của vectơ \(2\vec i - 7\vec j\) là:
A. \((2;7)\).
B. \(( - 2;7)\).
C. \((2; - 7)\).
D. \(( - 7;2)\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(3; - 2)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là:
A. \((3; - 2)\).
B. \(( - 3;2)\).
C. \(( - 2;3)\).
D. \((2; - 3)\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A( - 3;2),B(5; - 1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:
A. \((2;1)\).
B. \((8; - 3)\).
C. \(( - 8;3)\).
D. \(( - 2; - 1)\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 22: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 23: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta :y = 2x + 1\) là:
A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (2; - 1)\).
B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1; - 1)\).
C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 2; - 1)\).
D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1;1)\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 24: Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} (12; - 13)\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \)?
A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 13;12)\).
B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (12;13)\).
C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (13;12)\).
D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 12; - 13)\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 25: Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là:
A. \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\).
B. \(b\left( {x - {x_0}} \right) - a\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).
C. \(a\left( {x + {x_0}} \right) + b\left( {y + {y_0}} \right) = 0\).
D. \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 26: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(11; - 12)\) là:
A. \(5x + 4y + 7 = 0\).
B. \(5x + 4y - 7 = 0\).
C. \(11x - 12y - 7 = 0\).
D. \(11x - 12y + 7 = 0\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 27: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) là:
A. \(x - 2y + 3 = 0\).
B. \(2x + y - 14 = 0\).
C. \(x + 2y - 13 = 0\).
D. \(2x + y = 0\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 28: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 29: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\), \({\Delta _2}:3x - y + 7 = 0\). Nhận định nào sau đây là đúng?
A. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
B. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.
C. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.
D. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 30: Người ta quy ước góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau là:
A. \({180^0}\).
B. \({120^0}\).
C. \({90^0}\).
D. \({0^0}\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 31: Cho \(\alpha \) là góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:3x + y - 14 = 0\). Giá trị của cosa là:
A. \(\frac{{ - 3}}{{130}}\).
B. \(\frac{3}{{\sqrt {130} }}\).
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{130}}\).
D. \(\frac{{ - 3}}{{\sqrt {130} }}\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 32: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 4y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 1 = 0\) là:
A. \({0^0}\).
B. \({45^0}\).
C. \({60^0}\).
D. \({90^0}\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 33: Cho đường tròn \((C):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 25\). Đường tròn \((C)\) có:
A. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 25\).
B. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 25\).
C. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 5\).
D. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 5\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 34: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\). Đường tròn \((C)\) có:
A. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = 11\).
B. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).
C. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = 11\).
D. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 35: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?
A. \({x^2} - {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\).
B. \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 8 = 0\).
C. \({x^2} + {y^2} + 6x - 10y + 45 = 0\).
D. \({x^2} + {y^2} + 4x - 8y + 13 = 0\)
Lời giải
Đáp án D.
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} \)
Lời giải
Cách 1:
Bình phương hai vế phương trình, ta được:
\({x^2} + 2x + 4 = 2 - x \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \vee x = - 2.{\rm{ }}\)
Thay giá trị \(x = - 1\) vào phương trình: \(\sqrt 3 = \sqrt 3 \) (thỏa mãn).
Thay giá trị \(x = - 2\) vào phương trình: \(\sqrt 4 = \sqrt 4 \) (thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \{ - 1; - 2\} \).
Cách 2:
Ta có: \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - x \ge 0}\\{{x^2} + 2x + 4 = 2 - x}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} + 3x + 2 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 2\\x = - 1 \vee x = - 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \{ - 1; - 2\} \).
Bài 2. Tìm \(m\) để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi \(x\):
a) \(3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4 > 0\)
b) \(m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0\)
Lời giải
a) Đặt \(f(x) = 3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4\) với \(a = 3,{b^\prime } = - (m - 1),c = {m^2} + 4\).
Theo giả thiết:
\(f(x) = 3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4> 0,\forall x \in \mathbb{R}\left( * \right)\).
Đặt \(f(m) = - 2{m^2} - 2m - 11\) có \({\Delta _f} = {( - 2)^2} - ( - 2)( - 11) = - 18 < 0\).
Vì vậy \(f(m)\) luôn cùng dấu với \( - 2\) tức là \(f(m) < 0,\forall m \in \mathbb{R}\). Do đó (*) luôn đúng.
Vậy, với mọi \(m\) thuộc \(\mathbb{R}\) thì \(f(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
b) Đặt \(f(x) = m{x^2} + (m - 1)x + m - 1\) với \(a = m,{b^\prime } = m - 1,c = m - 1\).
Theo giả thiết: \(f(x) = m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\left( * \right)\).
Trường hợp 1: \(a = m = 0\).
Thay vào \((*): - x - 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x > - 1,\forall x \in \mathbb{R}\) (sai).
Suy ra \(m = 0\) không thỏa mãn.
Trường hợp 2: \(a = m \ne 0\).
Ta có: \((*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{\Delta < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{{{(m - 1)}^2} - 4m(m - 1) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{ - 3{m^2} + 2m + 1 < 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Xét \(g(m) = - 3{m^2} + 2m + 1;g(m) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\).
Bảng xét dấu \(g(m)\):
Ta có: \(g(m) < 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup (1; + \infty )\). Vậy \((1) \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\). Kết hợp hai trường hợp đã xét, ta thu được \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) thỏa mãn đề bài
Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (2;0),\vec b = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right),\vec c = (4; - 6)\).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c\).
b) Biểu diễn vectơ \(\vec c\) theo cặp vectơ không cùng phương \(\vec a,\vec b\).
Lời giải
a) Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\vec a = (4;0)}\\{ - 3\vec b = \left( {3; - \frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c = \left( {27; - \frac{{63}}{2}} \right)}\\{5\vec c = (20; - 30)}\end{array}} \right.\)
b) Gọi: \(\vec c = x\vec a + y\vec b(x,y \in \mathbb{R})\). Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 = x \cdot 2 + y( - 1)}\\{ - 6 = x \cdot 0 + y \cdot \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 4}\\{y = - 12}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(\vec c = - 4\vec a - 12\vec b\).
Bài 4. Cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\).
a) Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác.
b) Viết phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác.
Lời giải
a) Đường cao \(AH\) vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\vec u = (1; - 1)\) làm vectơ chỉ phương, suy ra \(AH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;1)\).
Phương trình tổng quát \(AH:1(x + 1) + 1(y + 2) = 0\) hay \(x + y + 3 = 0\).
b) Chọn điểm \(K(0;4)\) thuộc \(BC\), gọi \(E\) là trung điểm đoạn \(AK\) nên \(E\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\). Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(d\) qua \(E\) và có một vectơ pháp tuyến .
Phương trình tổng quát \(d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1(y - 1) = 0\) hay \(2x - 2y + 3 = 0\).
Tải về
Phần trắc nghiệm (7 điểm)
Câu 1: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?
A. \(0{x^2} + 5x - 3\).
B. \(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + 1\).
C. \(7x - {x^2} + 5\).
D. \({\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2}\).
Câu 2: Chọn từ thích hợp để điền vào chỗ (.).
Nếu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thì \(f(x) \ldots \ldots ..(1) \ldots ...\) với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và \(f(x)\).(2). với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)\).
A. (1) trái dấu - (2) cùng dấu.
B. (1) trái dấu - (2) trái dấu.
C. (1) cùng dấu - (2) trái dấu.
D. (1) cùng dấu - (2) cùng dấu.
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 2x + 3 > 0\) là:
A. \(\emptyset \).
B. \(\mathbb{R}\).
C. \(( - \infty ; - 1) \cup (3; + \infty )\).
D. \(( - 1;3)\).
Câu 4: Tam thức bậc hai \( - {x^2} + 7x - 12\) nhận giá trị dương khi nào?
A. \(x \in (3;4)\).
B. \(x \in [3;4]\).
C. \(x \in ( - \infty ;3) \cup (4; + \infty )\).
D. \(x \in ( - \infty ;3] \cup [4; + \infty )\).
Câu 5: Cô Mai có \(60\;m\) lưới muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau. Biết rằng một cạnh là tường (nên không cần rào), cô Mai chỉ cần rào ba cạnh còn lại của hình chữ nhật để làm vườn. Để diện tích mảnh vườn không ít hơn \(400\;{m^2}\) thì chiều rộng của vườn cần có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
A. \(20\;m\).
B. \(15\;m\).
C. \(10\;m\).
D. \(9\;m\).
Câu 6: Nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 9x + 20 > 0\) là:
A. \(x \in [4;5]\).
B. \(x \in (4;5)\).
C. \(x \in ( - \infty ;4] \cup [5; + \infty )\).
D. \(x \in ( - \infty ;4) \cup (5; + \infty )\).
Câu 7: Tập ngiệm của bất phương trình: \( - {x^2} + 6x + 7 \ge 0\) là:
A. \(( - \infty ; - 1] \cup [7; + \infty )\).
B. \([ - 1;7]\).
C. \(( - \infty ; - 7] \cup [1; + \infty )\).
D. \([ - 7;1]\).
Câu 8: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x + 3)(4 - x) > 0}\\{x - m + 1 < 0}\end{array}} \right.\) vô nghiệm khi và chỉ khi:
A. \(m \le - 2\).
B. \(m > - 2\).
C. \(m < - 1\).
D. \(m = 0\).
Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 \le 0}\\{x - m > 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm khi:
A. \(m > 1\).
B. \(m = 1\).
C. \(m < 1\).
D. \(m \ne 1\).
Câu 10: Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - bx + 3\). Với giá trị nào của \(b\) thì \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt?
A. \(b \in [ - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 ]\).
B. \(b \in ( - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 )\).
C. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ] \cup [2\sqrt 3 ; + \infty )\).
D. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ) \cup (2\sqrt 3 ; + \infty )\).
Câu 11: Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình bậc hai \({x^2} + 2(m + 1)x + 3m = 0\) có nghiệm là
A. \(\{ 0\} \)
B. \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).
C. \(\mathbb{R}\).
D. \(\emptyset \).
Câu 12: Phương trình \(m{x^2} - mx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi:
A. \(m \le 0\) hoặc \(m \ge 8\).
C. \(0 < m \le 8\).
B. \(m < 0\) hoặc \(m \ge 8\).
D. \(0 \le m \le 8\).
Câu 13: Giá trị \(x = 2\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. \(\sqrt {{x^2} - x - 4} = \sqrt {x - 4} \).
B. \(x - 1 = \sqrt {x - 3} \).
C. \(x + 2 = 2\sqrt {3x - 2} \).
D. \(x + 2 = \sqrt {x - 1} \).
Câu 14: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x - 3} = \sqrt {2{x^2} + x - 3} \) là:
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
Câu 15: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 1} = x - 1\) là:
A. \(S = \{ 1\} \).
B. \(S = \{ 2\} \).
C. \(S = \{ 0\} \).
D. \(S = \emptyset \).
Câu 16: Cho phương trình \(\sqrt {{x^2} - mx + {m^2}} = x - m\) (với \(m\) là tham số). Giá trị của \(m\) đê phương trình nhận \(x = 2\) làm nghiệm là:
A. \(m = 2\).
B. \(m = 3\).
C. \(m = 0\).
D. \(m = 1\).
Câu 17: Phương trình \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}} = {x^2} - 6x\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
Câu 18: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 7} - \sqrt {x + 1} = 2\) là
A. 2.
B. \( - 1\).
C. \( - 2\).
D. 4.
Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), toạ độ của vectơ \(2\vec i - 7\vec j\) là:
A. \((2;7)\).
B. \(( - 2;7)\).
C. \((2; - 7)\).
D. \(( - 7;2)\).
Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(3; - 2)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là:
A. \((3; - 2)\).
B. \(( - 3;2)\).
C. \(( - 2;3)\).
D. \((2; - 3)\).
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A( - 3;2),B(5; - 1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:
A. \((2;1)\).
B. \((8; - 3)\).
C. \(( - 8;3)\).
D. \(( - 2; - 1)\).
Câu 22: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Câu 23: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta :y = 2x + 1\) là:
A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (2; - 1)\).
B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1; - 1)\).
C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 2; - 1)\).
D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1;1)\).
Câu 24: Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} (12; - 13)\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \)?
A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 13;12)\).
B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (12;13)\).
C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (13;12)\).
D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 12; - 13)\).
Câu 25: Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là:
A. \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\).
B. \(b\left( {x - {x_0}} \right) - a\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).
C. \(a\left( {x + {x_0}} \right) + b\left( {y + {y_0}} \right) = 0\).
D. \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).
Câu 26: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(11; - 12)\) là:
A. \(5x + 4y + 7 = 0\).
B. \(5x + 4y - 7 = 0\).
C. \(11x - 12y - 7 = 0\).
D. \(11x - 12y + 7 = 0\).
Câu 27: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) là:
A. \(x - 2y + 3 = 0\).
B. \(2x + y - 14 = 0\).
C. \(x + 2y - 13 = 0\).
D. \(2x + y = 0\).
Câu 28: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).
Câu 29: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\), \({\Delta _2}:3x - y + 7 = 0\). Nhận định nào sau đây là đúng?
A. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
B. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.
C. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.
D. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
Câu 30: Người ta quy ước góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau là:
A. \({180^0}\).
B. \({120^0}\).
C. \({90^0}\).
D. \({0^0}\).
Câu 31: Cho \(\alpha \) là góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:3x + y - 14 = 0\). Giá trị của cosa là:
A. \(\frac{{ - 3}}{{130}}\).
B. \(\frac{3}{{\sqrt {130} }}\).
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{130}}\).
D. \(\frac{{ - 3}}{{\sqrt {130} }}\).
Câu 32: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 4y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 1 = 0\) là:
A. \({0^0}\).
B. \({45^0}\).
C. \({60^0}\).
D. \({90^0}\).
Câu 33: Cho đường tròn \((C):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 25\). Đường tròn \((C)\) có:
A. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 25\).
B. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 25\).
C. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 5\).
D. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 5\).
Câu 34: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\). Đường tròn \((C)\) có:
A. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = 11\).
B. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).
C. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = 11\).
D. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).
Câu 35: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?
A. \({x^2} - {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\).
B. \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 8 = 0\).
C. \({x^2} + {y^2} + 6x - 10y + 45 = 0\).
D. \({x^2} + {y^2} + 4x - 8y + 13 = 0\)
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} \)
Bài 2. Tìm \(m\) để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi \(x\):
a) \(3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4 > 0\)
b) \(m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0\)
Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (2;0),\vec b = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right),\vec c = (4; - 6)\).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c\).
b) Biểu diễn vectơ \(\vec c\) theo cặp vectơ không cùng phương \(\vec a,\vec b\).
Bài 4. Cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\).
a) Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác.
b) Viết phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác.
-------- Hết --------
Phần trắc nghiệm
Câu 1. C | Câu 2. C | Câu 3. B | Câu 4. A | Câu 5. C | Câu 6. D | Câu 7. B |
Câu 8. A | Câu 9. C | Câu 10. D | Câu 11. C | Câu 12. B | Câu 13. C | Câu 14. A |
Câu 15. D | Câu 16. C | Câu 17. D | Câu 18. A | Câu 19. C | Câu 20. A | Câu 21. B |
Câu 22. D | Câu 23. A | Câu 24. C | Câu 25. D | Câu 26. C | Câu 27. B | Câu 28. D |
Câu 29. D | Câu 30. D | Câu 31. B | Câu 32. B | Câu 33. C | Câu 34. B | Câu 35. D |
Câu 1: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?
A. \(0{x^2} + 5x - 3\).
B. \(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + 1\).
C. \(7x - {x^2} + 5\).
D. \({\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2}\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 2: Chọn từ thích hợp để điền vào chỗ (.).
Nếu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thì \(f(x) \ldots \ldots ..(1) \ldots ...\) với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và \(f(x)\).(2). với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)\).
A. (1) trái dấu - (2) cùng dấu.
B. (1) trái dấu - (2) trái dấu.
C. (1) cùng dấu - (2) trái dấu.
D. (1) cùng dấu - (2) cùng dấu.
Lời giải
Đáp án C.
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 2x + 3 > 0\) là:
A. \(\emptyset \).
B. \(\mathbb{R}\).
C. \(( - \infty ; - 1) \cup (3; + \infty )\).
D. \(( - 1;3)\).
Lời giải
Ta có: \({x^2} - 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Đáp án B.
Câu 4: Tam thức bậc hai \( - {x^2} + 7x - 12\) nhận giá trị dương khi nào?
A. \(x \in (3;4)\).
B. \(x \in [3;4]\).
C. \(x \in ( - \infty ;3) \cup (4; + \infty )\).
D. \(x \in ( - \infty ;3] \cup [4; + \infty )\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 5: Cô Mai có \(60\;m\) lưới muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau. Biết rằng một cạnh là tường (nên không cần rào), cô Mai chỉ cần rào ba cạnh còn lại của hình chữ nhật để làm vườn. Để diện tích mảnh vườn không ít hơn \(400\;{m^2}\) thì chiều rộng của vườn cần có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
A. \(20\;m\).
B. \(15\;m\).
C. \(10\;m\).
D. \(9\;m\).
Lời giải
Gọi \(x,y(0 < x,y < 60)\) lần lượt là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật.
Ta có \(2x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2x\).
Diện tích hình chữ nhật là \(S = xy = x(60 - 2x)\).
Ta xét bất phương trình \(x(60 - 2x) \ge 400 \Leftrightarrow 10 \le x \le 20\).
Vậy giá trị tối thiểu của chiều rộng là \(10\;m\).
Đáp án C.
Câu 6: Nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 9x + 20 > 0\) là:
A. \(x \in [4;5]\).
B. \(x \in (4;5)\).
C. \(x \in ( - \infty ;4] \cup [5; + \infty )\).
D. \(x \in ( - \infty ;4) \cup (5; + \infty )\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 7: Tập ngiệm của bất phương trình: \( - {x^2} + 6x + 7 \ge 0\) là:
A. \(( - \infty ; - 1] \cup [7; + \infty )\).
B. \([ - 1;7]\).
C. \(( - \infty ; - 7] \cup [1; + \infty )\).
D. \([ - 7;1]\).
Lời giải
Xét \( - {x^2} + 6x + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 1\\x = 7\end{array}\end{array}} \right.{\rm{. }}\)
Bảng xét dấu:
Ta có \(: - {x^2} + 6x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [ - 1;7]\).
Đáp án B.
Câu 8: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x + 3)(4 - x) > 0}\\{x - m + 1 < 0}\end{array}} \right.\) vô nghiệm khi và chỉ khi:
A. \(m \le - 2\).
B. \(m > - 2\).
C. \(m < - 1\).
D. \(m = 0\).
Lời giải
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x + 3)(4 - x) > 0}\\{x - m + 1 < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 < x < 4}\\{x < m - 1}\end{array}} \right.\left( * \right)\).
Hệ \(\left( * \right)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow m - 1 \le - 3 \Leftrightarrow m \le - 2\).
Đáp án A.
Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 \le 0}\\{x - m > 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm khi:
A. \(m > 1\).
B. \(m = 1\).
C. \(m < 1\).
D. \(m \ne 1\).
Lời giải
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 \le 0}\\{x - m > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 \le x \le 1}\\{x > m}\end{array}\quad (*)} \right.} \right.\)
Do đó hệ \(\left( * \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(m < 1\).
Đáp án C.
Câu 10: Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - bx + 3\). Với giá trị nào của \(b\) thì \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt?
A. \(b \in [ - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 ]\).
B. \(b \in ( - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 )\).
C. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ] \cup [2\sqrt 3 ; + \infty )\).
D. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ) \cup (2\sqrt 3 ; + \infty )\).
Lời giải
\(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta = {b^2} - 12 > 0\). Xét \(\Delta = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = - 2\sqrt 3 }\\{b = 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.\).
Bảng xét dấu:
Ta có: \(\Delta = {b^2} - 12 > 0 \Leftrightarrow b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ) \cup (2\sqrt 3 ; + \infty )\).
Đáp án D.
Câu 11: Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình bậc hai \({x^2} + 2(m + 1)x + 3m = 0\) có nghiệm là
A. \(\{ 0\} \)
B. \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).
C. \(\mathbb{R}\).
D. \(\emptyset \).
Lời giải
Phương trình \({x^2} + 2(m + 1)x + 3m = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta ^\prime } \ge 0\) \( \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - 3m \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - m + 1 \ge 0\).
Xét \(f(m) = {m^2} - m + 1\) có \({\Delta _f} = 1 - 4 = - 3 < 0\) nên \(f(m)\) luôn dương (do cùng dấu \(\left. {{a_f} = 1} \right)\).
Vậy \({m^2} - m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \in \mathbb{R}\).
Đáp án C.
Câu 12: Phương trình \(m{x^2} - mx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi:
A. \(m \le 0\) hoặc \(m \ge 8\).
C. \(0 < m \le 8\).
B. \(m < 0\) hoặc \(m \ge 8\).
D. \(0 \le m \le 8\).
Lời giải
Trường hợp 1: \(m = 0\). Thay vào phương trình: \(2 = 0\) (vô nghiệm). Vì vậy \(m = 0\)
không thỏa mãn.
Trường hợp 2: \(m \ne 0\).
Phương trình có nghiệm khi \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {( - m)^2} - 8m \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m \ge 0\).
Xét \(f(m) = {m^2} - 8m;f(m) = 0 \Leftrightarrow m = 0 \vee m = 8\).
Bảng xét dấu:
Ta có: \(f(m) = {m^2} - 8m \ge 0 \Leftrightarrow m \in ( - \infty ;0) \cup (8; + \infty )\).
So với điều kiện, ta có \(m < 0\) hoặc \(m \ge 8\) thỏa mãn đề bài.
Đáp án B.
Câu 13: Giá trị \(x = 2\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. \(\sqrt {{x^2} - x - 4} = \sqrt {x - 4} \).
B. \(x - 1 = \sqrt {x - 3} \).
C. \(x + 2 = 2\sqrt {3x - 2} \).
D. \(x + 2 = \sqrt {x - 1} \).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 14: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x - 3} = \sqrt {2{x^2} + x - 3} \) là:
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. 3.
Lời giải
Đáp án A.
Câu 15: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 1} = x - 1\) là:
A. \(S = \{ 1\} \).
B. \(S = \{ 2\} \).
C. \(S = \{ 0\} \).
D. \(S = \emptyset \).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 16: Cho phương trình \(\sqrt {{x^2} - mx + {m^2}} = x - m\) (với \(m\) là tham số). Giá trị của \(m\) đê phương trình nhận \(x = 2\) làm nghiệm là:
A. \(m = 2\).
B. \(m = 3\).
C. \(m = 0\).
D. \(m = 1\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 17: Phương trình \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}} = {x^2} - 6x\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
Lời giải
Điều kiện: \(17 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - \sqrt {17} \le x \le \sqrt {17} \).
Ta có: \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}} = {x^2} - 6x \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 6x} \right)\left( {\sqrt {17 - {x^2}} - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x^2} - 6x = 0\\\sqrt {17 - {x^2}} = 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x(x - 6) = 0\\16 - {x^2} = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 0 & (T)\\x = 6 & (L)\\x = \pm 4 & (T)\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Vậy phương trình có 3 thực phân biệt.
Đáp án D.
Câu 18: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 7} - \sqrt {x + 1} = 2\) là
A. 2.
B. \( - 1\).
C. \( - 2\).
D. 4.
Lời giải
\(\sqrt {3x + 7} - \sqrt {x + 1} = 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 1}\\{\sqrt {3x + 7} = 2 + \sqrt {x + 1} }\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge - 1\\3x + 7 = 4 + x + 1 + 4\sqrt {x + 1} \end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge - 1\\x + 1 = 2\sqrt {x + 1} \end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array}\end{array}.} \right.} \right.} \right.} \right.\)
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2.
Đáp án A.
Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), toạ độ của vectơ \(2\vec i - 7\vec j\) là:
A. \((2;7)\).
B. \(( - 2;7)\).
C. \((2; - 7)\).
D. \(( - 7;2)\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(3; - 2)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là:
A. \((3; - 2)\).
B. \(( - 3;2)\).
C. \(( - 2;3)\).
D. \((2; - 3)\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A( - 3;2),B(5; - 1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:
A. \((2;1)\).
B. \((8; - 3)\).
C. \(( - 8;3)\).
D. \(( - 2; - 1)\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 22: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 23: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta :y = 2x + 1\) là:
A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (2; - 1)\).
B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1; - 1)\).
C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 2; - 1)\).
D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1;1)\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 24: Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} (12; - 13)\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \)?
A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 13;12)\).
B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (12;13)\).
C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (13;12)\).
D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 12; - 13)\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 25: Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là:
A. \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\).
B. \(b\left( {x - {x_0}} \right) - a\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).
C. \(a\left( {x + {x_0}} \right) + b\left( {y + {y_0}} \right) = 0\).
D. \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 26: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(11; - 12)\) là:
A. \(5x + 4y + 7 = 0\).
B. \(5x + 4y - 7 = 0\).
C. \(11x - 12y - 7 = 0\).
D. \(11x - 12y + 7 = 0\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 27: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) là:
A. \(x - 2y + 3 = 0\).
B. \(2x + y - 14 = 0\).
C. \(x + 2y - 13 = 0\).
D. \(2x + y = 0\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 28: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 29: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\), \({\Delta _2}:3x - y + 7 = 0\). Nhận định nào sau đây là đúng?
A. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
B. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.
C. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.
D. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 30: Người ta quy ước góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau là:
A. \({180^0}\).
B. \({120^0}\).
C. \({90^0}\).
D. \({0^0}\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 31: Cho \(\alpha \) là góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:3x + y - 14 = 0\). Giá trị của cosa là:
A. \(\frac{{ - 3}}{{130}}\).
B. \(\frac{3}{{\sqrt {130} }}\).
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{130}}\).
D. \(\frac{{ - 3}}{{\sqrt {130} }}\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 32: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 4y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 1 = 0\) là:
A. \({0^0}\).
B. \({45^0}\).
C. \({60^0}\).
D. \({90^0}\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 33: Cho đường tròn \((C):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 25\). Đường tròn \((C)\) có:
A. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 25\).
B. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 25\).
C. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 5\).
D. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 5\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 34: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\). Đường tròn \((C)\) có:
A. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = 11\).
B. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).
C. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = 11\).
D. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 35: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?
A. \({x^2} - {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\).
B. \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 8 = 0\).
C. \({x^2} + {y^2} + 6x - 10y + 45 = 0\).
D. \({x^2} + {y^2} + 4x - 8y + 13 = 0\)
Lời giải
Đáp án D.
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} \)
Lời giải
Cách 1:
Bình phương hai vế phương trình, ta được:
\({x^2} + 2x + 4 = 2 - x \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \vee x = - 2.{\rm{ }}\)
Thay giá trị \(x = - 1\) vào phương trình: \(\sqrt 3 = \sqrt 3 \) (thỏa mãn).
Thay giá trị \(x = - 2\) vào phương trình: \(\sqrt 4 = \sqrt 4 \) (thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \{ - 1; - 2\} \).
Cách 2:
Ta có: \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - x \ge 0}\\{{x^2} + 2x + 4 = 2 - x}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} + 3x + 2 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 2\\x = - 1 \vee x = - 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \{ - 1; - 2\} \).
Bài 2. Tìm \(m\) để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi \(x\):
a) \(3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4 > 0\)
b) \(m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0\)
Lời giải
a) Đặt \(f(x) = 3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4\) với \(a = 3,{b^\prime } = - (m - 1),c = {m^2} + 4\).
Theo giả thiết:
\(f(x) = 3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4> 0,\forall x \in \mathbb{R}\left( * \right)\).
Đặt \(f(m) = - 2{m^2} - 2m - 11\) có \({\Delta _f} = {( - 2)^2} - ( - 2)( - 11) = - 18 < 0\).
Vì vậy \(f(m)\) luôn cùng dấu với \( - 2\) tức là \(f(m) < 0,\forall m \in \mathbb{R}\). Do đó (*) luôn đúng.
Vậy, với mọi \(m\) thuộc \(\mathbb{R}\) thì \(f(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
b) Đặt \(f(x) = m{x^2} + (m - 1)x + m - 1\) với \(a = m,{b^\prime } = m - 1,c = m - 1\).
Theo giả thiết: \(f(x) = m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\left( * \right)\).
Trường hợp 1: \(a = m = 0\).
Thay vào \((*): - x - 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x > - 1,\forall x \in \mathbb{R}\) (sai).
Suy ra \(m = 0\) không thỏa mãn.
Trường hợp 2: \(a = m \ne 0\).
Ta có: \((*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{\Delta < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{{{(m - 1)}^2} - 4m(m - 1) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{ - 3{m^2} + 2m + 1 < 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Xét \(g(m) = - 3{m^2} + 2m + 1;g(m) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\).
Bảng xét dấu \(g(m)\):
Ta có: \(g(m) < 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup (1; + \infty )\). Vậy \((1) \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\). Kết hợp hai trường hợp đã xét, ta thu được \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) thỏa mãn đề bài
Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (2;0),\vec b = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right),\vec c = (4; - 6)\).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c\).
b) Biểu diễn vectơ \(\vec c\) theo cặp vectơ không cùng phương \(\vec a,\vec b\).
Lời giải
a) Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\vec a = (4;0)}\\{ - 3\vec b = \left( {3; - \frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c = \left( {27; - \frac{{63}}{2}} \right)}\\{5\vec c = (20; - 30)}\end{array}} \right.\)
b) Gọi: \(\vec c = x\vec a + y\vec b(x,y \in \mathbb{R})\). Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 = x \cdot 2 + y( - 1)}\\{ - 6 = x \cdot 0 + y \cdot \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 4}\\{y = - 12}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(\vec c = - 4\vec a - 12\vec b\).
Bài 4. Cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\).
a) Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác.
b) Viết phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác.
Lời giải
a) Đường cao \(AH\) vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\vec u = (1; - 1)\) làm vectơ chỉ phương, suy ra \(AH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;1)\).
Phương trình tổng quát \(AH:1(x + 1) + 1(y + 2) = 0\) hay \(x + y + 3 = 0\).
b) Chọn điểm \(K(0;4)\) thuộc \(BC\), gọi \(E\) là trung điểm đoạn \(AK\) nên \(E\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\). Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(d\) qua \(E\) và có một vectơ pháp tuyến .
Phương trình tổng quát \(d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1(y - 1) = 0\) hay \(2x - 2y + 3 = 0\).
Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 1 là một bài kiểm tra quan trọng, đánh giá mức độ nắm vững kiến thức của học sinh sau một nửa học kì. Đề thi thường bao gồm các dạng bài tập thuộc các chủ đề chính như hàm số bậc hai, phương trình và hệ phương trình, bất phương trình, và các ứng dụng của toán học trong thực tế.
Thông thường, cấu trúc đề thi sẽ bao gồm:
Dưới đây là một số dạng bài tập thường xuất hiện trong đề thi:
Các bài tập về hàm số bậc hai thường tập trung vào:
Các bài tập về phương trình và hệ phương trình thường yêu cầu học sinh:
Các bài tập về bất phương trình thường tập trung vào:
Để giúp các em học sinh ôn tập và làm bài hiệu quả, Giaibaitoan.com cung cấp đáp án chi tiết và lời giải các bài tập trong đề thi. Các em có thể tham khảo:
Việc luyện tập với đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 1 mang lại nhiều lợi ích cho học sinh:
Ngoài đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 1, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Chúc các em học sinh ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi giữa kì 2!
