đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh toán 9 năm 2021 – 2022 sở gd&đt thái nguyên

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh năm học 2021 – 2022 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên tổ chức. Đây là một đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Đề thi bao gồm ba bài toán lớn, tập trung vào các chủ đề quen thuộc nhưng được trình bày dưới dạng nâng cao, đòi hỏi sự linh hoạt trong tư duy và vận dụng kiến thức.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Phương trình bậc hai

   Cho phương trình x² – 2(m + 1)x + 4m − m² = 0 (m là tham số).

   • a. Giải phương trình với m = 1.
   • b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
   • c. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn: x₁² + 2(m + 1)x₂ – 4 = 0.

   Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai, bao gồm điều kiện có nghiệm, nghiệm kép, nghiệm phân biệt, và các công thức liên hệ giữa nghiệm và hệ số. Câu c yêu cầu học sinh phải kết hợp các kiến thức đã học để tìm ra mối liên hệ giữa nghiệm và tham số, đòi hỏi sự tư duy logic và kỹ năng biến đổi đại số tốt.

2. Bài 2: Hình học

   Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC. E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên các cạnh AB, AC.

   • a. Chứng minh AEF = ACB. Từ đó chỉ ra tứ giác BCFE nội tiếp đường tròn.
   • b. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng BC và EF. Chứng minh rằng IK² = giaibaitoan.com.
   • c. Đường thẳng IA cắt đường tròn (O) tại điểm J (J khác A). Gọi D là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCFE. Chứng minh rằng ba điểm D, K, J thẳng hàng.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, hệ thức lượng trong tam giác vuông, và các tính chất của tứ giác nội tiếp. Câu c là câu khó nhất, đòi hỏi học sinh phải có khả năng suy luận logic, kết hợp các kiến thức hình học đã học, và sử dụng các định lý liên quan đến đường thẳng và đường tròn.

3. Bài 3: Số học

   Chứng minh rằng nếu a là số tự nhiên không chia hết cho 5 và không chia hết cho 7 thì (a⁴ − 1)(a⁴ + 15a² + 1) chia hết cho 35. Cho m, n, p là ba số nguyên dương thỏa mãn mn = p(m + n) và m, p là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng mnp là số chính phương.

   Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về tính chia hết, số nguyên tố, và các tính chất của số chính phương. Câu đầu tiên yêu cầu học sinh phải sử dụng các tính chất của phép chia hết và các biểu thức đại số để chứng minh. Câu thứ hai đòi hỏi học sinh phải phân tích và biến đổi các biểu thức để chứng minh mnp là số chính phương.

Đánh giá chung: Đề thi có cấu trúc rõ ràng, các câu hỏi được sắp xếp theo mức độ khó tăng dần. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế. Đây là một đề thi tốt để học sinh rèn luyện kỹ năng và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi khác.