giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 12 (chuyên) năm học 2022 – 2023 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thừa Thiên Huế tổ chức. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho việc ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, quốc gia.
Đề thi bao gồm ba bài toán, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Dưới đây là nội dung chi tiết của từng bài toán:
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho x4 + 10x2 + 2y là một số chính phương.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực số học, đòi hỏi thí sinh phải vận dụng các kiến thức về số chính phương, ước số và các kỹ thuật đánh giá. Để giải bài toán này, có thể xét các trường hợp khác nhau của x và y, hoặc sử dụng các bất đẳng thức để tìm ra giới hạn của y.
Trên đường tròn (O) cho dây cung BC cố định không đi qua O và điểm A thay đổi sao cho A khác B, A khác C. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CA, AB. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M. Gọi (Q) là đường tròn đi qua hai điểm D, M và tiếp xúc với đường tròn (O); d là tiếp tuyến của (Q) tại D. Gọi N, P lần lượt là giao điểm của d với các đường trung trực của DE và DF. Gọi H là giao điểm của NE và PF, G là trọng tâm của tam giác ABC.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn, tam giác, đường trung trực, tiếp tuyến và các tính chất liên quan. Để giải bài toán này, cần sử dụng các kỹ thuật chứng minh hình học, như chứng minh đồng dạng, sử dụng tính chất của các điểm đặc biệt trong tam giác và đường tròn, và áp dụng các định lý về đường thẳng và mặt phẳng.
Cho n là một số nguyên dương. Một bảng n x n gồm n2 ô vuông đơn vị, mỗi ô được tô bởi một trong hai màu trắng hoặc đen, được gọi là bảng lồi nếu với mỗi ô được tô màu đen thì ô liền kề nằm bên trái nó hoặc bên trên nó (nếu có) đều được tô màu đen. Với a, b là hai ô vuông đơn vị bất kì của bảng, cặp gồm hai ô vuông (a;b) gọi là cặp đẹp nếu a được tô màu đen, b được tô màu trắng và cả hai đều nằm trên cùng một hàng hoặc cùng một cột của bảng.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực tổ hợp, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng tư duy logic, phân tích và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. Để giải bài toán này, cần hiểu rõ định nghĩa của bảng lồi và cặp đẹp, và sử dụng các kỹ thuật đếm, như liệt kê các trường hợp có thể xảy ra, sử dụng công thức tổ hợp, hoặc áp dụng các nguyên tắc về tối ưu hóa.
Nhìn chung, đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2022 – 2023 là một đề thi chất lượng, có độ khó cao và tính phân loại tốt. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy, sáng tạo và giải quyết vấn đề của thí sinh. Đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán.
