đề thi học sinh giỏi toán 9 năm 2023 – 2024 sở gd&đt hà nội

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 cấp thành phố Hà Nội năm học 2023 – 2024 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tổ chức vào ngày 21 tháng 01 năm 2024. Đề thi đi kèm với đáp án và lời giải chi tiết, hứa hẹn sẽ là tài liệu ôn tập hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi.

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng vận dụng linh hoạt các định lý, công thức toán học. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao gồm đại số, hình học và số học, giúp đánh giá toàn diện năng lực của học sinh.

Dưới đây là trích dẫn nội dung chính của đề thi:

1. Bài toán 1 (Đại số): Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn a ≤ b ≤ c và ab ≤ bc ≤ ca đều chia hết cho 8. Chứng minh rằng abc chia hết cho 64. Đồng thời, chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y lớn hơn 1 sao cho x | (y^y - 1) và y | (x^x - 1).
2. Bài toán 2 (Hình học): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, có H là trực tâm. Gọi O' là điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng BC. Đường thẳng đi qua điểm H vuông góc với đường thẳng HO' cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M, N. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
   • a) Chứng minh rằng O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.
   • b) Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng.
   • c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH và đường tròn (OI). Gọi Q là giao điểm của hai đường thẳng OP và BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai R. Chứng minh rằng đường thẳng QR song song với đường thẳng OI.
3. Bài toán 3 (Số học): Xét số nguyên n > 100 thỏa mãn tồn tại tập hợp S gồm n số thực dương sao cho với mỗi phần tử x của tập S đều tồn tại 100 phần tử khác x của tập S có tích bằng x. Hỏi n nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Nhận xét chung:

• Bài toán 1 kiểm tra kiến thức về tính chia hết và bất đẳng thức, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích tốt.
• Bài toán 2 là một bài hình học phức tạp, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đường tròn, tam giác, trực tâm và các tính chất liên quan. Việc chứng minh các điểm thẳng hàng và đường thẳng song song đòi hỏi sự khéo léo trong việc sử dụng các định lý và tính chất hình học.
• Bài toán 3 là một bài toán số học thú vị, đòi hỏi học sinh phải có khả năng suy luận và tìm tòi các giải pháp sáng tạo.

Đề thi này là một thử thách lớn đối với học sinh lớp 9, nhưng cũng là cơ hội để các em rèn luyện và nâng cao kiến thức, kỹ năng giải toán. giaibaitoan.com hy vọng rằng với tài liệu này, các em sẽ đạt được kết quả tốt nhất trong các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.