đề thi hsg toán 9 cấp thành phố năm học 2019 – 2020 sở gd&đt hà nội

Phân tích Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Hà Nội năm 2019-2020: Đánh giá và Nhận xét Chuyên sâu

Ngày 08 tháng 01 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội đã tổ chức kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp thành phố môn Toán năm học 2019 – 2020. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần khả năng tư duy logic, sáng tạo và vận dụng linh hoạt các kỹ năng giải toán.

Đề thi có cấu trúc gồm 05 bài toán tự luận, được trình bày trên một trang giấy. Thời gian làm bài là 150 phút. Điểm đặc biệt của đề thi này là có kèm theo lời giải chi tiết, được biên soạn bởi thầy giáo Võ Quốc Bá Cẩn – một giáo viên có uy tín trong lĩnh vực bồi dưỡng học sinh giỏi Toán.

Dưới đây là nội dung chi tiết của một số bài toán tiêu biểu trong đề thi:

1. Bài toán Hình học: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < BC; ngoại tiếp đường tròn tâm I. Hình chiếu vuông góc của điểm I trên các cạnh AB; AC theo thứ tự là M; N và hình chiếu vuông góc của điểm B trên cạnh AC là Q. Gọi D là điểm đối xứng của điểm A qua điểm Q; P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD và R là giao điểm của hai đường thẳng MN; BQ. Chứng minh rằng:
   • a) Các tam giác BMR và BIP đồng dạng.
   • b) Đường thẳng PR song song với đường thẳng AC.
   • c) Đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng AP.

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học điển hình, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn nội tiếp, tính chất đối xứng, và các định lý về tam giác đồng dạng. Việc chứng minh các mối quan hệ hình học phức tạp đòi hỏi học sinh phải có khả năng quan sát tinh tế và suy luận logic.

2. Bài toán Đại số (Bất đẳng thức): Cho ba số thực dương x; y; z thay đổi thỏa mãn điều kiện 5(x + y + z)^2 ≥ 14(x^2 + y^2 + z^2). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (2x + z)/(x + 2z).

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc vận dụng các bất đẳng thức cơ bản như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM, và kỹ năng đánh giá để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức. Điều kiện ràng buộc 5(x + y + z)^2 ≥ 14(x^2 + y^2 + z^2) đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết bài toán.

3. Bài toán Đại số (Phương trình đối xứng): Cho bốn số thực dương a; b; c; d thỏa mãn a^3 + b^3 + c^3 = 3d^3, b^5 + c^5 + d^5 = 3a^5 và c^7 + d^7 + a^7 = 3b^7. Chứng minh rằng a = b = c = d.

   Nhận xét: Đây là một bài toán đại số khá thú vị, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích cấu trúc của phương trình đối xứng và sử dụng các kỹ năng biến đổi đại số để chứng minh đẳng thức. Bài toán này kiểm tra khả năng tư duy trừu tượng và giải quyết vấn đề của học sinh.

Đánh giá chung: Đề thi HSG Toán 9 cấp thành phố Hà Nội năm học 2019 – 2020 là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy, sáng tạo và vận dụng kiến thức vào thực tế của học sinh. Lời giải chi tiết của thầy giáo Võ Quốc Bá Cẩn là một nguồn tài liệu tham khảo quý giá cho học sinh và giáo viên trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi.