giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 bộ đề thi Olympic chuyên môn Toán dành cho học sinh THCS lần thứ 2 năm 2025 của trường THPT chuyên Hạ Long, tỉnh Quảng Ninh. Đây là một đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Điểm đặc biệt của bộ đề này là được cung cấp kèm theo đáp án chi tiết, lời giải hoàn chỉnh và hướng dẫn chấm điểm, hỗ trợ tối đa cho quá trình ôn luyện và tự học.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi BE và CF là các đường cao của tam giác, giao nhau tại trực tâm H (E thuộc AC, F thuộc AB). Gọi M là trung điểm của HB, N là trung điểm của HC. Đường trung trực của HB cắt BC tại M, đường trung trực của HC cắt BC tại N. Đường tròn (M; MB) cắt AB tại J (khác B), đường tròn (N; NC) cắt AC tại I (khác C).
Nhận xét: Đây là một bài hình học điển hình trong các kỳ thi Olympic Toán, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về đường tròn, tam giác, đường cao, trực tâm và các tính chất liên quan đến trung điểm, đường trung trực. Bài toán có tính chất liên kết cao, đòi hỏi người giải phải có tư duy hình học không gian tốt và khả năng phân tích, tổng hợp thông tin.
Chứng minh rằng nếu bội chung nhỏ nhất (BCNN) và ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai số nguyên dương a và b đều là các số chính phương thì a và b cũng là các số chính phương.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực số học, yêu cầu học sinh nắm vững các khái niệm về BCNN, ƯCLN, số chính phương và các tính chất liên quan. Để giải bài toán này, học sinh cần sử dụng các công thức liên hệ giữa BCNN, ƯCLN và hai số a, b, đồng thời phân tích các số a, b thành thừa số nguyên tố.
Cho 20 điểm phân biệt trên mặt phẳng, gồm 10 điểm màu xanh và 10 điểm màu đỏ, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng ta có thể dùng 10 đoạn thẳng nối mỗi điểm xanh với một điểm đỏ tương ứng sao cho 10 đoạn thẳng này đôi một không có điểm chung.
Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp có tính chất ứng dụng cao, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng suy luận. Bài toán có thể được giải bằng phương pháp chứng minh bằng phản chứng hoặc sử dụng các định lý về đồ thị.
Bộ đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị tham gia các kỳ thi Olympic Toán. giaibaitoan.com hy vọng rằng với sự hỗ trợ của bộ đề này, các em sẽ đạt được kết quả tốt nhất trong các kỳ thi sắp tới.
