giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh khối 11 đề thi Olympic Toán năm học 2018 – 2019 của trường THPT Kim Liên, Hà Nội. Đề thi có cấu trúc tự luận với 6 bài toán, thời gian làm bài là 150 phút (không bao gồm thời gian phát đề). Điểm đặc biệt của đề thi này là các bài toán được xây dựng có tính phân loại cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần có khả năng vận dụng linh hoạt và sáng tạo để giải quyết vấn đề. Đề thi đi kèm với lời giải chi tiết, hỗ trợ quá trình tự học và ôn luyện của học sinh.
Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:
Đề bài: Danh sách đăng ký dự thi Olympic cấp trường của lớp 11A trường THPT Kim Liên – Hà Nội có 25 học sinh, mỗi em đăng ký dự thi một môn trong số các môn: Toán, Văn, Tin học, Sinh học, Lịch Sử, Vật lí, Hóa học, Anh và Địa Lí. Trong đó có 6 học sinh đăng ký dự thi môn Toán và 5 học sinh đăng ký dự thi môn Anh. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong danh sách trên, tính xác suất để trong 3 học sinh đó có cả học sinh đăng ký dự thi môn Toán và học sinh đăng ký dự thi môn Anh.
Nhận xét: Đây là một bài toán điển hình về xác suất, yêu cầu học sinh nắm vững các công thức tính xác suất của biến cố và kỹ năng tính tổ hợp. Để giải bài toán này, học sinh cần tính tổng số cách chọn 3 học sinh từ 25 học sinh, sau đó tính số cách chọn 3 học sinh mà không có học sinh nào đăng ký thi Toán hoặc Anh, và cuối cùng tính số cách chọn 3 học sinh có cả học sinh đăng ký thi Toán và Anh. Bài toán này rèn luyện khả năng tư duy logic và tính toán chính xác.
Đề bài: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh DD’ sao cho AI = D’E = x (0 < x < 1).
a) Chứng minh IE vuông góc với A’C.
b) Tìm x để góc giữa hai đường thẳng AC’ và DI bằng 60 độ.
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A’D’. Xác định giao điểm K của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng B’C’ và tính tỉ số B’K/B’C’.
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về hình học không gian, bao gồm các khái niệm về đường thẳng vuông góc, góc giữa hai đường thẳng, và giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Để giải quyết bài toán, học sinh cần sử dụng các công cụ của hình học vectơ, đặc biệt là tích vô hướng để chứng minh tính vuông góc và tính góc. Phần c yêu cầu học sinh có khả năng hình dung không gian và vận dụng các định lý về giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Đề bài: Cho số thực a ∈ (0;1) và dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1, un+1 = (giaibaitoan.com^3 + a – 1)^1/3, n thuộc N*.
a) Gọi (vn) là dãy số xác định bởi vn = un^3 + 1. Chứng minh rằng dãy số (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn.
b) Tìm tất cả các giá trị của a biết rằng: lim (u1^2 + u2^3 + … + un^3 + n) = 4.
Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về dãy số, giới hạn và cấp số nhân. Phần a yêu cầu học sinh biến đổi dãy số (un) để đưa về dạng cấp số nhân, sau đó chứng minh tính chất lùi vô hạn. Phần b đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về giới hạn của dãy số và sử dụng các kỹ năng phân tích để tìm ra giá trị của a thỏa mãn điều kiện đề bài. Đây là một bài toán khó, đòi hỏi học sinh có tư duy trừu tượng và khả năng giải quyết vấn đề cao.
Nhìn chung, đề thi Olympic Toán 11 năm 2018 – 2019 trường THPT Kim Liên – Hà Nội là một đề thi chất lượng, có độ khó phù hợp và có tính phân loại cao. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi Olympic Toán và các kỳ thi học sinh giỏi khác.
