giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 một đề thi thử học sinh giỏi môn Toán 12 có giá trị cao, được biên soạn bởi trường THPT Nguyễn Bính, tỉnh Nam Định – đề thi thử học sinh giỏi lần 2 năm học 2024 – 2025.
Đề thi có cấu trúc đa dạng, bao gồm:
Thời gian làm bài dự kiến là 120 phút. Điểm đặc biệt của đề thi là có kèm theo đáp án chi tiết và hướng dẫn chấm điểm, hỗ trợ tối đa cho quá trình ôn luyện và tự đánh giá.
Dưới đây là một số nhận xét và phân tích về nội dung đề thi thông qua việc trích dẫn một vài câu hỏi tiêu biểu:
1. Bài toán hình học giải tích kết hợp với đồ thị hàm số:
“Người ta muốn làm một sàn nổi hình vuông nối liền một sân khấu nổi trên mặt hồ có bờ là một nhánh đồ thị của hàm số y = (x + 1)/(x – 1) (C) với đất liền là nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng d: y = -x + 1. Tính diện tích S của mặt sàn nổi, biết hình vuông có hai đỉnh nằm trên (C), hai đỉnh còn lại nằm trên d.”
Đây là một bài toán đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về hàm số, đồ thị hàm số, phương trình đường thẳng và đường cong. Việc tìm tọa độ giao điểm giữa đường cong và đường thẳng, kết hợp với tính chất hình học của hình vuông sẽ là chìa khóa để giải quyết bài toán. Bài toán này đánh giá khả năng liên kết kiến thức và vận dụng linh hoạt vào thực tế.
2. Bài toán tối ưu hóa hình học:
“Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh 90 (cm). Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng x (cm) (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm x để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất.”
Bài toán này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về hình học không gian, cụ thể là hình lăng trụ. Thí sinh cần thiết lập được công thức tính thể tích của lăng trụ theo biến x, sau đó sử dụng các phương pháp tối ưu hóa (ví dụ: đạo hàm) để tìm giá trị của x sao cho thể tích đạt giá trị lớn nhất. Đây là một bài toán điển hình trong các kỳ thi học sinh giỏi, đòi hỏi sự chính xác và tư duy logic.
3. Bài toán hình học không gian và ứng dụng thực tế:
“Hình vẽ dưới đây mô tả một ngọn núi có dạng hình nón có độ dài đường sinh bằng 60 m, bán kính đáy bằng 20 m. Nhà đầu tư du lịch dự định xây dựng một con đường nhằm phục vụ việc chuyên chở khách du lịch tham quan ngắm cảnh vòng quanh ngọn núi bắt đầu từ vị trí A và dừng ở vị trí B sao cho đoạn AB = 10 m. Biết rằng người ta đã chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi từ A đến B, đoạn đường đầu là phần lên dốc từ A và đoạn sau sẽ xuống dốc đến B. Khi đó quãng đường xuống dốc đi từ A đến B bằng a/√b với a, b thuộc N. Tính tổng T = a + b.”
Bài toán này kết hợp kiến thức về hình nón, đường sinh, bán kính đáy và ứng dụng vào một tình huống thực tế – xây dựng đường đi trên núi. Việc tìm đường đi ngắn nhất trên bề mặt hình nón đòi hỏi thí sinh phải có khả năng tư duy không gian tốt và vận dụng kiến thức về hình học giải tích. Bài toán này không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng giải quyết vấn đề trong thực tiễn.
Nhìn chung, đề thi thử học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Nguyễn Bính – Nam Định là một đề thi chất lượng, có độ khó phù hợp và bao phủ nhiều chủ đề kiến thức quan trọng. Đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi.
