giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa năm học 2021 - 2022. Đề thi được thực hiện ngày 05 tháng 06 năm 2021, bao gồm các bài toán đòi hỏi tư duy logic, kiến thức vững chắc và khả năng vận dụng linh hoạt các định lý, kỹ năng giải toán.
Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh, phù hợp với mục tiêu tuyển chọn của một trường chuyên. Các bài toán không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng sáng tạo và giải quyết vấn đề của thí sinh. Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:
Bài 1: Về bài toán đếm và nguyên lý Dirichlet.
Cho bảng kẻ ô vuông kích thước 8x8, chứa 64 ô vuông con. Đặt 33 quân cờ vào các ô vuông con sao cho mỗi ô vuông con có không quá một quân cờ. Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất 5 quân cờ đôi một không chiếu nhau (tức là không nằm cùng hàng hoặc cùng cột).
Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp khá thú vị, đòi hỏi thí sinh phải vận dụng linh hoạt nguyên lý Dirichlet và kỹ năng đếm. Để giải bài toán này, cần tìm cách chặn số lượng quân cờ có thể nằm trên mỗi hàng hoặc mỗi cột, từ đó suy ra kết luận.
Bài 2: Hình học phẳng và tính chất đường tròn.
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường tròn (O') tại P. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại Q. Gọi I là điểm sao cho tứ giác AOIO' là hình bình hành và D đối xứng với A qua B.
a) Chứng minh rằng I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ. Từ đó suy ra tứ giác ADPQ nội tiếp.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh A, D, P, Q, M cùng thuộc một đường tròn.
c) Giả sử hai đường thẳng IB và PQ cắt nhau tại S. Gọi K là giao điểm của AD và PQ. Chứng minh: 2/SK = 1/SP + 1/SQ.
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về đường tròn, tiếp tuyến, đối xứng và tứ giác nội tiếp. Để giải quyết bài toán, cần sử dụng các tính chất của đường tròn, góc, tam giác và hình học phẳng một cách khéo léo. Phần c) đòi hỏi thí sinh phải vận dụng định lý Menelaus hoặc Ceva một cách sáng tạo.
Bài 3: Đại số và tính chất của số hữu tỉ.
Cho các số hữu tỉ a, b, c đôi một phân biệt. Đặt B = (a2 + b2)/(b2 + c2) + (b2 + c2)/(c2 + a2) + (c2 + a2)/(a2 + b2). Chứng minh rằng B là một số hữu tỉ.
Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về số hữu tỉ và khả năng biến đổi đại số. Mặc dù biểu thức B có dạng phức tạp, nhưng thí sinh có thể sử dụng các kỹ năng biến đổi đại số để chứng minh B là một số hữu tỉ. Bài toán này đòi hỏi sự cẩn thận và chính xác trong các phép tính.
Tài liệu tham khảo:
File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG
Hy vọng đề thi này sẽ là tài liệu hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán.
