giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2023 của Trường THPT chuyên KHTN, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Đề thi được cung cấp kèm theo đáp án và lời giải chi tiết, được biên soạn bởi đội ngũ CLB Toán A1: Nguyễn Nhất Huy, Trần Nguyễn Đức Nhật, Phan Anh Quân và Trịnh Huy Vũ.
Đây là một đề thi có độ khó cao, phân loại học sinh tốt, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt. Đề thi bao gồm ba bài toán, mỗi bài toán đều có những nét đặc trưng riêng, kiểm tra nhiều khía cạnh khác nhau của học sinh.
“Giả sử n là số nguyên sao cho 3n3 – 1011 chia hết cho 1008. Chứng minh rằng n – 1 chia hết cho 48.”
Đây là một bài toán về tính chia hết, đòi hỏi học sinh phải vận dụng các kiến thức về đồng dư thức và các tính chất của phép chia hết. Để giải bài toán này, cần phân tích 1008 thành các thừa số nguyên tố và sử dụng các tính chất của phép chia hết để suy ra mối quan hệ giữa n và 48.
“Cho hai đường tròn (O) và (O’) cố định cắt nhau tại A và B sao cho O nằm ngoài (O’) và O’ nằm ngoài (O). Trên đường tròn (O) lấy điểm P di chuyển sao cho P nằm trong đường tròn (O’). Đường thẳng AP cắt (O’) tại C khác A. 1) Chứng minh rằng hai tam giác OBP và O’BC đồng dạng. 2) Gọi Q là giao điểm của hai đường thẳng OP và O’C. Chứng minh rằng ∠QBC + ∠ABP = 90°. 3) Lấy điểm D thuộc (O) sao cho AD vuông góc O’C. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng DQ luôn nằm trên một đường tròn cố định khi P thay đổi.”
Bài toán này là một bài toán hình học phẳng điển hình, kết hợp nhiều kiến thức về đường tròn, tam giác đồng dạng, góc và đường thẳng. Để giải quyết bài toán, cần sử dụng các tính chất của góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, tam giác đồng dạng và các định lý về đường tròn. Phần 3 của bài toán đòi hỏi học sinh phải có tư duy hình học không gian tốt và khả năng tìm ra quỹ tích của một điểm.
“Giả sử A là tập hợp con của tập hợp gồm 30 số tự nhiên đầu tiên {0, 1, 2, 3, …, 29} sao cho với k nguyên bất kỳ, a, b thuộc A bất kỳ (có thể a = b) thì a + b + 30k không là tích của hai số nguyên liên tiếp. Chứng minh rằng số phần tử của tập hợp A nhỏ hơn hoặc bằng 10.”
Đây là một bài toán về tổ hợp, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng chứng minh bất đẳng thức. Để giải bài toán này, cần phân tích điều kiện đề bài và sử dụng các kỹ thuật đếm để tìm ra giới hạn trên của số phần tử của tập hợp A.
Nhìn chung, đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2023 trường THPT chuyên KHTN là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Việc làm quen với các dạng bài tập trong đề thi này sẽ giúp học sinh chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thi tuyển sinh sắp tới. Bản đáp án và lời giải chi tiết của CLB Toán A1 sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho cả thầy cô và học sinh trong quá trình ôn tập và giảng dạy.
