giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: tính đơn điệu của hàm số

## Giải Chi Tiết Bài Tập Giải Tích 12 Nâng Cao: Tính Đơn Điệu của Hàm Số Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập về tính đơn điệu của hàm số trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm các bài tập trong phần "Câu hỏi và Bài tập" và "Luyện tập". Chúng ta sẽ đi sâu vào phân tích từng bài, đánh giá phương pháp giải và đưa ra những nhận xét quan trọng. **I. Câu Hỏi và Bài Tập** **Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:** a) \(y = 2x^3 + 3x^2 + 1\) b) \(y = x^3 – 2x^2 + x + 1\) c) \(y = x + \frac{3}{x}\) d) \(y = x – \frac{2}{x}\) e) \(y = x^4 – 2x^2 – 5\) f) \(y = \sqrt{4 – x^2}\) **Phân tích chung:** Để xét chiều biến thiên của hàm số, ta cần tìm đạo hàm \(y'\), xác định các điểm mà \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không xác định, và sau đó xét dấu của \(y'\) trên các khoảng xác định của hàm số. * **a) \(y = 2x^3 + 3x^2 + 1\)** * \(y' = 6x^2 + 6x = 6x(x + 1)\) * \(y' = 0\) khi \(x = 0\) hoặc \(x = -1\) * Bảng biến thiên: | Khoảng | (-\infty, -1) | (-1, 0) | (0, +\infty) | | ------------- | ------------- | ------- | ------------- | | Dấu của y' | + | - | + | | Chiều biến thiên | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến | **Kết luận:** Hàm số đồng biến trên (-\infty, -1) và (0, +\infty), nghịch biến trên (-1, 0). * **b) \(y = x^3 – 2x^2 + x + 1\)** * \(y' = 3x^2 – 4x + 1\) * \(y' = 0\) khi \(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = 1\) * Bảng biến thiên: | Khoảng | (-\infty, 1/3) | (1/3, 1) | (1, +\infty) | | ------------- | --------------- | -------- | ------------- | | Dấu của y' | + | - | + | | Chiều biến thiên | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến | **Kết luận:** Hàm số đồng biến trên (-\infty, 1/3) và (1, +\infty), nghịch biến trên (1/3, 1). * **c) \(y = x + \frac{3}{x}\)** * \(y' = 1 - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 3}{x^2}\) * \(y' = 0\) khi \(x = \pm \sqrt{3}\) * Bảng biến thiên: | Khoảng | (-\infty, -\sqrt{3}) | (-\sqrt{3}, 0) | (0, \sqrt{3}) | (\sqrt{3}, +\infty) | | ------------- | -------------------- | --------------- | -------------- | ------------------- | | Dấu của y' | + | - | - | + | | Chiều biến thiên | Đồng biến | Nghịch biến | Nghịch biến | Đồng biến | **Kết luận:** Hàm số đồng biến trên (-\infty, -\sqrt{3}) và (\sqrt{3}, +\infty), nghịch biến trên (-\sqrt{3}, 0) và (0, \sqrt{3}). * **d) \(y = x – \frac{2}{x}\)** * \(y' = 1 + \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 + 2}{x^2} > 0\) với mọi \(x \neq 0\) **Kết luận:** Hàm số đồng biến trên (-\infty, 0) và (0, +\infty). * **e) \(y = x^4 – 2x^2 – 5\)** * \(y' = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)\) * \(y' = 0\) khi \(x = -1, 0, 1\) * Bảng biến thiên: | Khoảng | (-\infty, -1) | (-1, 0) | (0, 1) | (1, +\infty) | | ------------- | ------------- | ------- | ------ | ------------- | | Dấu của y' | - | + | - | + | | Chiều biến thiên | Nghịch biến | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến | **Kết luận:** Hàm số nghịch biến trên (-\infty, -1) và (0, 1), đồng biến trên (-1, 0) và (1, +\infty). * **f) \(y = \sqrt{4 – x^2}\)** * Tập xác định: [-2, 2] * \(y' = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}\) * \(y' = 0\) khi \(x = 0\) * Bảng biến thiên: | Khoảng | (-2, 0) | (0, 2) | | ------------- | ------- | ------ | | Dấu của y' | + | - | | Chiều biến thiên | Đồng biến | Nghịch biến | **Kết luận:** Hàm số đồng biến trên [-2, 0] và nghịch biến trên [0, 2]. **Bài 2. Chứng minh rằng:** a) Hàm số \(y = \frac{x – 2}{x + 2}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Hàm số \(y = \frac{-x^2 – 2x + 3}{x + 1}\) nghịch biến trên mỗi khoảng của nó. **Phân tích:** Chứng minh hàm số đồng biến/nghịch biến bằng cách chứng minh đạo hàm luôn dương/âm trên khoảng xác định. * **a) \(y = \frac{x – 2}{x + 2}\)** * Tập xác định: \(x \neq -2\) * \(y' = \frac{4}{(x + 2)^2} > 0\) với mọi \(x \neq -2\) **Kết luận:** Hàm số đồng biến trên (-\infty, -2) và (-2, +\infty). * **b) \(y = \frac{-x^2 – 2x + 3}{x + 1}\)** * Tập xác định: \(x \neq -1\) * \(y' = \frac{-x^2 - 2x - 5}{(x + 1)^2} < 0\) với mọi \(x \neq -1\) **Kết luận:** Hàm số nghịch biến trên (-\infty, -1) và (-1, +\infty). **Bài 3. Chứng minh rằng các hàm số sau đồng biến trên R:** a) \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 17x + 4\) b) \(f(x) = x^3 + x – \cos x – 4\) **Phân tích:** Chứng minh đạo hàm luôn dương trên R. * **a) \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 17x + 4\)** * \(f'(x) = 3x^2 – 12x + 17 = 3(x - 2)^2 + 5 > 0\) với mọi \(x \in R\) **Kết luận:** Hàm số đồng biến trên R. * **b) \(f(x) = x^3 + x – \cos x – 4\)** * \(f'(x) = 3x^2 + 1 + \sin x > 0\) với mọi \(x \in R\) (vì \(3x^2 \geq 0\) và \(1 + \sin x \geq 0\)). **Kết luận:** Hàm số đồng biến trên R. **Bài 4. Với giá trị nào của a, hàm số \(y = ax – x^3\) nghịch biến trên R?** **Phân tích:** Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi đạo hàm của nó nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R. * \(y' = a – 3x^2\) * Để \(y' \leq 0\) với mọi \(x \in R\), ta cần \(a \leq 3x^2\) với mọi \(x \in R\). Vì \(3x^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên \(a \leq 0\). **Kết luận:** Với \(a \leq 0\), hàm số \(y = ax – x^3\) nghịch biến trên R. **Bài 5. Tìm các giá trị của tham số a để hàm số \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + 4x + 3\) đồng biến trên R.** **Phân tích:** Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi đạo hàm của nó lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R. * \(f'(x) = x^2 + 2ax + 4\) * Để \(f'(x) \geq 0\) với mọi \(x \in R\), ta cần \(\Delta' \leq 0\), tức là \(a^2 - 4 \leq 0\), suy ra \(-2 \leq a \leq 2\). **Kết luận:** Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi \(-2 \leq a \leq 2\). **II. Luyện Tập** Các bài tập trong phần luyện tập được giải tương tự như các bài tập trên, sử dụng các phương pháp tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm và kết luận về chiều biến thiên của hàm số. **Nhận xét chung:** * Các bài tập về tính đơn điệu của hàm số đòi hỏi sự nắm vững kiến thức về đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm. * Việc xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định của hàm số là bước quan trọng để xác định chiều biến thiên của hàm số. * Trong một số trường hợp, cần sử dụng các bất đẳng thức hoặc các tính chất của hàm số lượng giác để chứng minh chiều biến thiên của hàm số. * Việc hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm trong việc biểu diễn tốc độ thay đổi của hàm số giúp giải quyết các bài toán ứng dụng.