giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: cực trị của hàm số

## Giải chi tiết bài tập Cực trị của hàm số - Giải tích 12 nâng cao Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lời giải các bài tập trong phần Câu hỏi và bài tập, phần Luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, chủ đề Cực trị của hàm số. Chúng ta sẽ cùng phân tích các phương pháp tiếp cận và những điểm cần lưu ý khi giải quyết các dạng bài tập này. **Bài 11.** Tìm cực trị của các hàm số sau: a) \(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 3x – 1.\) * **Phân tích:** Đây là hàm đa thức bậc ba, cực trị có thể tìm bằng phương pháp xét đạo hàm bậc nhất và bậc hai hoặc sử dụng bảng biến thiên. * **Lời giải:** * Tập xác định: \(R\). * \(f'(x) = {x^2} + 4x + 3\). * Giải phương trình \(f'(x) = 0\) ta được \(x = – 1\) hoặc \(x = – 3\). * **Cách 1: Bảng biến thiên** * | x | -∞ | -3 | -1 | +∞ | * | f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | * | f(x) | | | | | * Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại \(x = -3\), giá trị cực đại là \(f(-3) = -1\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -1\), giá trị cực tiểu là \(f(-1) = -\frac{7}{3}\). * **Cách 2: Sử dụng đạo hàm bậc hai** * \(f''(x) = 2x + 4\). * \(f''(-3) = -2 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = -3\), \(f(-3) = -1\). * \(f''(-1) = 2 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -1\), \(f(-1) = -\frac{7}{3}\). b) \(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} + 2x – 10.\) * **Lời giải:** * Tập xác định: \(R\). * \(f'(x) = {x^2} – 2x + 2 = (x – 1)^2 + 1 > 0\) với mọi \(x \in R\). * Hàm số luôn đồng biến trên \(R\) nên không có cực trị. c) \(f(x) = x + \frac{1}{x}.\) * **Phân tích:** Hàm số có tập xác định không phải là \(R\), cần chú ý khi xét đạo hàm. * **Lời giải:** * Tập xác định: \(R \setminus \{0\}\). * \(f'(x) = 1 – \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2}\). * Giải phương trình \(f'(x) = 0\) ta được \(x = \pm 1\). * **Cách 1: Bảng biến thiên** * | x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞ | * | f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | * | f(x) | | | | | | * Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\), \(f(-1) = -2\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \(f(1) = 2\). * **Cách 2: Sử dụng đạo hàm bậc hai** * \(f''(x) = \frac{2}{x^3}\). * \(f''(-1) = -2 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\), \(f(-1) = -2\). * \(f''(1) = 2 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \(f(1) = 2\). d) \(f(x) = |x|(x + 2).\) * **Phân tích:** Hàm số có dạng hàm giá trị tuyệt đối, cần xét các trường hợp \(x \ge 0\) và \(x < 0\). * **Lời giải:** * \(f(x) = \begin{cases} x(x + 2) & \text{với } x \ge 0 \\ -x(x + 2) & \text{với } x < 0 \end{cases}\) * \(f'(x) = \begin{cases} 2x + 2 & \text{với } x > 0 \\ -2x - 2 & \text{với } x < 0 \end{cases}\) * **Bảng biến thiên:** * | x | -∞ | -1 | 0 | +∞ | * | f'(x) | | 0 | | | * | f(x) | | 1 | 0 | | * Hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\), \(f(-1) = 1\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\), \(f(0) = 0\). e) \(f(x) = \frac{{{x^5}}}{5} – \frac{{{x^3}}}{3} + 2.\) f) \(f(x) = \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}}.\) **Bài 12.** Tìm cực trị của các hàm số sau: a) \(y = x\sqrt {4 – {x^2}} .\) b) \(y = \sqrt {8 – {x^2}} .\) c) \(y = x – \sin 2x + 2.\) d) \(y = 3 – 2\cos x – \cos 2x.\) **Bài 13.** Tìm các hệ số \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) của hàm số \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) sao cho hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0\), \(f(0) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1\), \(f(1) = 1.\) **Bài 14.** Xác định các hệ số \(a\), \(b\), \(c\) sao cho hàm số \(f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) đạt cực trị bằng \(0\) tại \(x = -2\) và đồ thị của hàm số đi qua \(A(1;0).\) **Bài 15.** Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\), hàm số \(y = \frac{{{x^2} – m(m + 1)x + {m^3} + 1}}{{x – m}}\) luôn có cực đại và cực tiểu. **(Các bài 12-15 sẽ được giải tương tự như bài 11, sử dụng các phương pháp đã trình bày.)** **Nhận xét chung:** * Khi giải bài tập về cực trị hàm số, việc xác định tập xác định của hàm số là bước đầu tiên quan trọng. * Việc tính đạo hàm bậc nhất và giải phương trình \(f'(x) = 0\) để tìm các điểm nghi ngờ cực trị là bước tiếp theo. * Có thể sử dụng đạo hàm bậc hai hoặc bảng biến thiên để xác định loại cực trị tại các điểm nghi ngờ. * Đối với các hàm số có dạng đặc biệt (hàm giá trị tuyệt đối, hàm lượng giác), cần chú ý xét các trường hợp hoặc sử dụng các công thức đạo hàm phù hợp. * Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách thay các giá trị tìm được vào hàm số và đạo hàm để đảm bảo tính chính xác.