giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

## Giải chi tiết các bài tập về Đồ thị hàm số và Phép tịnh tiến hệ tọa độ - Giải tích 12 nâng cao Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lời giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào chủ đề "Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ". Chúng ta sẽ cùng phân tích sâu sắc từng bài, không chỉ đưa ra đáp án mà còn làm rõ phương pháp và ý nghĩa của các phép biến đổi tọa độ. **Bài 29: Xác định đỉnh của Parabol và viết phương trình đối với hệ tọa độ mới** Bài tập này rèn luyện kỹ năng hoàn thiện bình phương để tìm tọa độ đỉnh của parabol, sau đó áp dụng phép tịnh tiến để đơn giản hóa phương trình. * **a) \(y = 2{x^2} – 3x + 1.\)** Đỉnh \(I\left( {\frac{3}{4}; – \frac{1}{8}} \right)\). Việc tìm đỉnh parabol là bước quan trọng, giúp xác định tâm của phép tịnh tiến. Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) được xác định bởi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = X + \frac{3}{4}}\\ {y = Y – \frac{1}{8}} \end{array}} \right.\) Thay vào phương trình ban đầu và rút gọn, ta được phương trình của parabol đối với hệ tọa độ \(IXY\): \(Y = 2{X^2}\). Việc chuyển đổi hệ tọa độ giúp đưa phương trình về dạng đơn giản, làm nổi bật tính đối xứng của parabol. * **b) \(y = \frac{1}{2}{x^2} – x – 3.\)** Đỉnh \(I\left( {1; – \frac{7}{2}} \right)\). Phép tịnh tiến: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = X + 1}\\ {y = Y – \frac{7}{2}} \end{array}} \right.\) Phương trình đối với hệ tọa độ \(IXY\): \(Y = \frac{1}{2}{X^2}\). * **c) \(y = x – 4{x^2}.\)** Đỉnh \(I\left( {\frac{1}{8};\frac{1}{{16}}} \right)\). Phép tịnh tiến: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = X + \frac{1}{8}}\\ {y = Y + \frac{1}{{16}}} \end{array}} \right.\) Phương trình đối với hệ tọa độ \(IXY\): \(Y = – 4{X^2}\). * **d) \(y = 2{x^2} – 5.\)** Đỉnh \(I(0; – 5)\). Phép tịnh tiến: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = X’}\\ {y = Y – 5} \end{array}} \right.\) Phương trình đối với hệ tọa độ \(IXY\): \(Y = 2{X^2}\). **Bài 30: Tâm đối xứng của hàm số bậc ba** Bài tập này tập trung vào việc tìm điểm uốn của hàm số bậc ba, từ đó xác định tâm đối xứng. * **a) \(f(x) = {x^3} – 3{x^2} + 1.\)** \(f'(x) = 3{x^2} – 6x\), \(f”(x) = 6x – 6\). Giải \(f”(x) = 0\) ta được \(x = 1\). Khi đó, \(f(1) = – 1\). Vậy \(I(1; – 1)\). * **b) Viết phương trình đối với hệ tọa độ \(IXY\).** Phép tịnh tiến: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = X + 1}\\ {y = Y – 1} \end{array}} \right.\) Phương trình đối với hệ tọa độ \(IXY\): \(Y = {X^3} – 3X\). Hàm số \(Y = {X^3} – 3X\) là hàm số lẻ, do đó đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ. * **c) Viết phương trình tiếp tuyến và xét vị trí tương đối giữa đồ thị và tiếp tuyến.** Phương trình tiếp tuyến tại \(I(1;-1)\): \(y = – 3x + 2\). Xét hiệu \(f(x) – (-3x + 2) = (x-1)^3\). Dấu của \((x-1)^3\) thay đổi tùy thuộc vào khoảng xét, chứng tỏ đồ thị nằm phía dưới tiếp tuyến khi \(x < 1\) và phía trên tiếp tuyến khi \(x > 1\). **Bài 31: Tâm đối xứng của đường cong Hyperbol** Bài tập này minh họa cách sử dụng phép tịnh tiến để tìm tâm đối xứng của một đường cong hyperbol. * **\(y = 2 – \frac{1}{{x + 2}}\)** và \(I( – 2;2)\). Phép tịnh tiến: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = X – 2}\\ {y = Y + 2} \end{array}} \right.\) Phương trình đối với hệ tọa độ \(IXY\): \(Y = – \frac{1}{X}\). Hàm số \(Y = – \frac{1}{X}\) là hàm số lẻ, do đó đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. **Bài 32: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số** Bài tập này yêu cầu vận dụng kiến thức về phép tịnh tiến và hàm số lẻ để xác định tâm đối xứng. * **a) \(y = \frac{2}{{x – 1}} + 1.\)** Tâm đối xứng là \(I(1;1)\). * **b) \(y = \frac{{3x – 2}}{{x + 1}}.\)** Tâm đối xứng là \(I( – 1;3)\). **Bài 33: Tổng quát hóa về tâm đối xứng của đường cong** Bài tập này đưa ra một dạng tổng quát của đường cong và chứng minh rằng điểm \(I\) là tâm đối xứng của nó. * **\(y = ax + b + \frac{c}{{x – {x_0}}}\)**, với \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn \({y_0} = a{x_0} + b.\) Phép tịnh tiến: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = X + {x_0}}\\ {y = Y + {y_0}} \end{array}} \right.\) Phương trình đối với hệ tọa độ \(IXY\): \(Y = aX + \frac{c}{X}\). Hàm số \(Y = aX + \frac{c}{X}\) là hàm số lẻ, do đó đồ thị nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng. **Nhận xét chung:** Các bài tập này là nền tảng quan trọng để hiểu sâu về phép tịnh tiến hệ tọa độ và ứng dụng của nó trong việc phân tích đồ thị hàm số. Việc nắm vững kỹ năng tìm đỉnh của parabol, điểm uốn của hàm số bậc ba, và nhận diện hàm số lẻ là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan. Ngoài ra, việc chuyển đổi hệ tọa độ không chỉ giúp đơn giản hóa phương trình mà còn làm nổi bật các tính chất đối xứng của đồ thị hàm số.