giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

## Giải Chi Tiết Bài Tập Giá Trị Lớn Nhất và Giá Trị Nhỏ Nhất của Hàm Số - Giải Tích 12 Nâng Cao Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và phân tích chuyên sâu cho các bài tập về giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao. Chúng ta sẽ đi qua từng bài tập, đánh giá phương pháp giải và làm rõ các điểm quan trọng. **I. Câu Hỏi và Bài Tập** **Bài 16.** Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x\). **Lời giải:** Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\). Ta có: \(f(x) = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x\) Vì \(0 \le \sin^2 2x \le 1\), suy ra: * \(f(x) \le 1\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Dấu bằng xảy ra khi \(\sin^2 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{k\pi}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\). Vậy \(\max_{x \in \mathbb{R}} f(x) = 1\). * \(f(x) \ge \frac{1}{2}\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Dấu bằng xảy ra khi \(\sin^2 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}\). Vậy \(\min_{x \in \mathbb{R}} f(x) = \frac{1}{2}\). **Đánh giá:** Lời giải sử dụng biến đổi lượng giác để đưa hàm số về dạng đơn giản, sau đó áp dụng tính chất của hàm sin bình phương để tìm max và min. Đây là một phương pháp hiệu quả cho các hàm lượng giác. **Bài 17.** Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) \(f(x) = x^2 + 2x - 5\) trên đoạn \([-2; 3]\). b) \(f(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x - 4\) trên đoạn \([-4; 0]\). c) \(f(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; +\infty)\). d) \(f(x) = -x^2 + 2x + 4\) trên đoạn \([2; 4]\). e) \(f(x) = \frac{2x^2 + 5x + 4}{x + 2}\) trên đoạn \([0; 1]\). f) \(f(x) = x - \frac{1}{x}\) trên nửa khoảng \((0; 2]\). **(a) - (f):** (Lời giải đã cung cấp trong nội dung gốc, sẽ không lặp lại ở đây. Tuy nhiên, cần lưu ý các điểm sau:) * **Phương pháp chung:** Tìm đạo hàm \(f'(x)\), giải phương trình \(f'(x) = 0\) để tìm các điểm cực trị. Sau đó, đánh giá giá trị của hàm số tại các điểm cực trị nằm trong khoảng xét và tại các mút của khoảng. * **Chú ý:** * Kiểm tra xem đạo hàm có đổi dấu tại các điểm cực trị hay không để xác định đó là điểm cực đại hay cực tiểu. * Nếu hàm số không có điểm cực trị trong khoảng xét, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất sẽ đạt tại các mút của khoảng. * Đối với các hàm số trên khoảng mở, chỉ xét giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến đến mút của khoảng. **Bài 18.** Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) \(y = 2\sin^2 x + 2\sin x - 1\). b) \(y = \cos^2 x - \sin x \cos x + 4\). **(a) - (b):** (Lời giải đã cung cấp trong nội dung gốc, sẽ không lặp lại ở đây. Tuy nhiên, cần lưu ý:) * **Phương pháp chung:** Đặt ẩn phụ để đưa hàm số về hàm bậc hai. Sau đó, sử dụng kiến thức về hàm bậc hai để tìm max và min. * **Chú ý:** Xác định đúng tập giá trị của ẩn phụ để đảm bảo tính chính xác của kết quả. **Bài 19 - 28:** (Các bài tập này tương tự, áp dụng các phương pháp đã nêu ở trên. Việc giải chi tiết sẽ bỏ qua để đảm bảo độ dài phù hợp.) **II. Nhận xét chung** * Các bài tập trong sách giáo khoa tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng tìm đạo hàm, giải phương trình đạo hàm bằng 0, và xét dấu đạo hàm để xác định cực trị. * Ngoài ra, các bài tập còn yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các hàm số cơ bản (hàm bậc hai, hàm lượng giác) và các bất đẳng thức để tìm max và min. * Việc vẽ bảng biến thiên giúp trực quan hóa quá trình biến đổi của hàm số và dễ dàng xác định các điểm cực trị và khoảng đơn điệu. * Đối với các bài toán thực tế (Bài 19, 25), cần chuyển đổi bài toán về dạng toán học và áp dụng các phương pháp giải đã học. Hy vọng bài viết này cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về các bài tập về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao.